フィンの伝熱計算とは？フィン方程式・効率・有効度を例題で解説

空冷式熱交換器、モーター、ヒートシンク、ラジエーターなどでは、表面に薄い板や棒を取り付けて放熱を促進します。この拡大伝熱面がフィンです。

フィンは伝熱面積を増やしますが、フィン全体が根元と同じ温度になるわけではありません。熱は根元からフィン内部を熱伝導で進み、その途中で周囲流体へ対流によって逃げるため、先端へ行くほど温度差が小さくなります。

したがって、単純に「面積が何倍になったから放熱量も何倍」と計算することはできません。この記事では、フィン内の微小区間に対するエネルギー収支からフィン方程式を導き、温度分布、伝熱速度、フィン効率、フィン有効度、フィン群を含む全表面効率を例題で解説します。

熱伝導と対流の基本を先に確認したい方は、熱伝導・対流・放射の違いとFourierの法則と熱伝導方程式を参照してください。

フィンとは

フィンとは、固体表面に取り付けて周囲流体と接する面積を増やし、伝熱を促進するための拡大伝熱面です。英語ではfinまたはextended surfaceと呼ばれます。

代表例には次のものがあります。

• 空冷式熱交換器のフィン付き管
• 電子機器やインバーターのヒートシンク
• 空冷エンジンやモーターの冷却フィン
• ラジエーターや空調用熱交換器の薄板フィン
• 温度センサーの保護管や伝熱促進用のピン

フィンの根元を温度 \(T_b\) の壁へ接続し、周囲流体の温度を \(T_\infty\) とします。冷却フィンでは \(T_b>T_\infty\) です。

根元から入った熱はフィンの長さ方向へ伝導しながら、側面から流体へ対流で失われます。そのため、一般にフィン温度 \(T(x)\) は根元で最も高く、先端へ向かうほど \(T_\infty\) に近づきます。

一様断面の直線フィンを考える

まず、長さ方向を \(x\)、根元を \(x=0\)、先端を \(x=L\) とする一様断面の直線フィンを考えます。

記号	意味	SI単位
\(L\)	フィン長さ	\(\mathrm{m}\)
\(A_c\)	長さ方向の熱伝導に垂直な断面積	\(\mathrm{m^2}\)
\(P\)	流体に接する断面の周長	\(\mathrm{m}\)
\(A_f\)	フィンの対流伝熱面積	\(\mathrm{m^2}\)
\(k\)	フィン材料の熱伝導率	\(\mathrm{W/(m\,K)}\)
\(h\)	フィン表面の熱伝達係数	\(\mathrm{W/(m^2\,K)}\)
\(T_b\)	フィン根元温度	\(\mathrm{K}\) または \({}^\circ\mathrm{C}\)
\(T_\infty\)	周囲流体温度	\(\mathrm{K}\) または \({}^\circ\mathrm{C}\)

長方形フィンの幅を \(w\)、厚さを \(t\) とすると、

\[
A_c=wt
\qquad
P=2(w+t)
\]

です。\(t\ll w\) の薄いフィンなら \(P\approx2w\) と近似できます。

直径 \(D\) の円形ピンフィンでは、

\[
A_c=\frac{\pi D^2}{4}
\qquad
P=\pi D
\]

となります。

フィン方程式をエネルギー収支から導く

フィン内の \(x\) から \(x+dx\) までの微小区間を考えます。定常状態では、

\[
\text{左から入る伝導熱}
-\text{右へ出る伝導熱}
-\text{表面から流体へ出る対流熱}
=0
\]

です。

長さ方向の伝熱速度を \(\dot Q_x\) とすると、

\[
\dot Q_x
–
\left(
\dot Q_x+
\frac{d\dot Q_x}{dx}dx
\right)
–
hP\,dx\left(T-T_\infty\right)
=0
\]

となります。整理すると、

\[
-\frac{d\dot Q_x}{dx}
-hP(T-T_\infty)
=0
\]

です。Fourierの法則より、

\[
\dot Q_x
=
-kA_c\frac{dT}{dx}
\]

なので、一般形は、

です。

ここで \(k\)、\(A_c\)、\(h\)、\(P\) を一定とし、超過温度を、

\[
\theta(x)=T(x)-T_\infty
\]

と定義すると、フィン方程式は、

となります。\(m\) の単位は \(\mathrm{m^{-1}}\) です。

フィン方程式で置いている仮定

上の式をそのまま使うには、主に次の仮定が必要です。

• 定常状態である
• 長さ方向の一次元熱伝導で近似できる
• フィンの断面積 \(A_c\) と周長 \(P\) が一定である
• 熱伝導率 \(k\) と熱伝達係数 \(h\) が一定である
• 周囲流体温度 \(T_\infty\) が一定である
• 内部発熱がない
• 放射伝熱を無視できる、または線形化した有効熱伝達係数へ含める
• フィン根元温度 \(T_b\) が既知で一定である

断面内の温度を一様とみなす目安には、断面の代表長さ \(A_c/P\) を使ったBiot数、

\[
\mathrm{Bi}_{\mathrm{trans}}
=
\frac{h(A_c/P)}{k}
\]

が十分小さいことを確認します。これは、フィンの厚さ方向・半径方向の温度差を無視するための判定です。Biot数の考え方は、Biot数と集中熱容量法で詳しく解説しています。

\(m\) と \(mL\) の物理的な意味

フィン方程式に現れる、

\[
m=\sqrt{\frac{hP}{kA_c}}
\]

は、フィン表面から熱を逃がす作用 \(hP\) と、フィン内部で熱を先端へ運ぶ作用 \(kA_c\) のバランスを表します。

• \(h\) や \(P\) が大きい：途中で熱が逃げやすく、温度は長さ方向に急速に低下する
• \(k\) や \(A_c\) が大きい：熱を先端まで運びやすく、温度低下は緩やかになる

無次元量 \(mL\) は、フィン全体で温度がどの程度低下するかを整理する重要な指標です。\(mL\) が小さいとフィン全体が根元温度に近くなり、\(mL\) が大きいと先端付近の温度は周囲温度へ近づきます。

断熱先端フィンの温度分布

フィン方程式は二階の微分方程式なので、二つの境界条件が必要です。根元温度が一定で、先端からの伝熱を無視する場合は、

\[
\theta(0)=\theta_b=T_b-T_\infty
\]

\[
\left.
\frac{d\theta}{dx}
\right|_{x=L}
=0
\]

です。二つ目は先端が断熱されていることを表します。

このとき、温度分布は、

となります。

先端温度は \(x=L\) を代入して、

です。\(mL\) が大きいほど、先端温度は周囲温度へ近づきます。

断熱先端フィンの伝熱速度

フィン全体から周囲へ移動する熱は、根元からフィンへ入る伝導熱に等しくなります。したがって、

\[
\dot Q_f
=
-kA_c
\left.
\frac{dT}{dx}
\right|_{x=0}
\]

です。温度分布を微分して代入すると、

となります。

この式から、フィンの等価熱抵抗は、

\[
R_f
=
\frac{T_b-T_\infty}{\dot Q_f}
=
\frac{1}{
\sqrt{hPkA_c}\tanh(mL)
}
\]

と表せます。平板や円筒壁の熱抵抗とのつながりは、平板・円筒壁・多層壁の熱伝導も参照してください。

フィン先端の境界条件

先端の扱いによって解は変わります。

先端条件	境界条件	使い方
断熱先端	\(dT/dx=0\)	先端面積が側面積より十分小さい場合の基本解
対流先端	\(-kA_c\,dT/dx=hA_t(T_L-T_\infty)\)	先端からの対流を厳密に含める
規定温度先端	\(T(L)=T_L\)	先端温度が別の物体などによって固定される場合
無限長フィン	\(T\to T_\infty\) as \(x\to\infty\)	十分長く、先端の影響を無視できる場合

無限長フィン

十分長いフィンでは、先端へ達する前に超過温度がほぼゼロになると考えます。このとき、

\[
\frac{\theta(x)}{\theta_b}=e^{-mx}
\]

\[
\dot Q_{f,\infty}
=
\sqrt{hPkA_c}(T_b-T_\infty)
\]

です。

断熱先端解との違いは \(\tanh(mL)\) だけなので、\(\tanh(mL)\approx1\) なら無限長近似を使えます。たとえば \(mL=2\) では \(\tanh(2)\approx0.964\) であり、伝熱速度は無限長解の約96.4%です。

ただし、無限長近似は「先端温度が厳密に周囲温度と等しい」という意味ではありません。必要精度に応じて \(\tanh(mL)\) の差を確認します。

補正長さで先端対流を近似する

一様断面の直線フィンでは、対流する先端面を含める簡便法として、実長 \(L\) の代わりに、

という補正長さを使い、長さ \(L_{\mathrm{eff}}\) の断熱先端フィンとして近似する方法があります。

薄い長方形フィンでは \(A_c/P\approx t/2\) なので、\(L_{\mathrm{eff}}\approx L+t/2\) です。円形ピンフィンでは \(A_c/P=D/4\) なので、\(L_{\mathrm{eff}}\approx L+D/4\) です。

フィン効率とは

実際のフィンでは先端へ行くほど温度差が小さくなります。これに対して、フィン全体が根元温度 \(T_b\) に保たれていると仮定したときの伝熱速度は最大となります。

フィン効率 \(\eta_f\) は、実際の伝熱速度と、この理想的な最大伝熱速度の比です。

断熱先端の一様断面フィンでは \(A_f=PL\) なので、

です。先端対流を補正長さで近似する場合は、\(L\) を \(L_{\mathrm{eff}}\) に置き換え、\(A_f\approx PL_{\mathrm{eff}}\) とします。

フィン効率が0.80なら、「同じ面積のフィン全体が根元温度に保たれた場合に比べ、実際には80%の熱を移動させている」と解釈できます。

フィン有効度とは

効率が高くても、フィン自体が非常に短ければ、追加できる熱量はわずかです。そこで、フィンを付けた場所からの実際の伝熱速度と、フィンを付けずに根元断面積 \(A_c\) が流体へ露出していた場合の伝熱速度を比較します。

フィン有効度 \(\varepsilon_f\) は、

です。

指標	何と比較するか	主な意味
フィン効率 \(\eta_f\)	フィン全体が根元温度にある理想状態	増やした面積をどれだけ有効に使えているか
フィン有効度 \(\varepsilon_f\)	フィンを付けない根元面	フィンを付けることで伝熱が何倍になったか

\(\varepsilon_f>1\) なら、少なくとも熱移動は増えています。製作費、重量、圧力損失、清掃性なども考えると、工学的には \(\varepsilon_f\ge2\) 程度をフィン採用の一つの目安とすることがあります。ただし、これは絶対的な設計基準ではありません。

フィンを有効にする条件

断熱先端フィンの有効度は、

\[
\varepsilon_f
=
\sqrt{\frac{kP}{hA_c}}
\tanh(mL)
\]

とも表せます。この式から、次の傾向が読み取れます。

• 熱伝導率 \(k\) が大きい：熱を先端まで運びやすい
• 周長と断面積の比 \(P/A_c\) が大きい：少ない伝導断面で大きな表面積を得られる
• 熱伝達係数 \(h\) が小さい側：面積を増やす効果が相対的に大きい

気体側は液体側より \(h\) が小さいことが多いため、気体と液体を隔てる伝熱面では、一般に気体側へフィンを設ける方が有効です。

ただし、「\(h\) が小さいほど有効度が高い」ことは、絶対的な伝熱速度まで大きくなることを意味しません。同じ形状なら \(h\) が小さくなるほど、フィンを付けない場合との比は大きくなりやすい一方、伝熱そのものは弱くなります。

フィン群を含む全表面効率

実際の熱交換器やヒートシンクには、複数のフィンと、フィンの間に露出した基部表面があります。

露出した基部面積を \(A_b\)、1枚のフィン面積を \(A_f\)、フィン枚数を \(N\) とすると、全伝熱面積は、

\[
A_t=A_b+NA_f
\]

です。露出した基部は温度 \(T_b\)、各フィンの効率は \(\eta_f\) とすると、全伝熱速度は、

となります。

全表面効率 \(\eta_o\) を使えば、

とまとめられます。

ここで \(A_b\) はフィン根元が占める面積を除いた、流体に露出する基部面積です。根元面積を重複して数えないように注意してください。

例題：アルミニウム製平板フィンの伝熱計算

温度 \(100\,{}^\circ\mathrm{C}\) の壁に、幅 \(50\ \mathrm{mm}\)、厚さ \(2.0\ \mathrm{mm}\)、長さ \(80\ \mathrm{mm}\) のアルミニウム製平板フィンが取り付けられています。周囲空気温度は \(25\,{}^\circ\mathrm{C}\)、熱伝達係数は \(25\ \mathrm{W/(m^2\,K)}\)、アルミニウムの熱伝導率は \(205\ \mathrm{W/(m\,K)}\) です。

先端を断熱と近似し、次を求めます。

1. フィンパラメータ \(m\)
2. 先端温度
3. フィンからの伝熱速度
4. フィン効率
5. フィン有効度

手順1：単位をSI単位へそろえる

\[
w=0.050\ \mathrm{m}
\qquad
t=0.0020\ \mathrm{m}
\qquad
L=0.080\ \mathrm{m}
\]

超過温度は、

\[
\theta_b=T_b-T_\infty=100-25=75\ \mathrm{K}
\]

です。

手順2：断面積と周長を求める

\[
A_c=wt=(0.050)(0.0020)
=1.00\times10^{-4}\ \mathrm{m^2}
\]

\[
P=2(w+t)
=2(0.050+0.0020)
=0.104\ \mathrm{m}
\]

です。

先端面積 \(A_c\) は \(1.00\times10^{-4}\ \mathrm{m^2}\)、側面積 \(PL\) は \(8.32\times10^{-3}\ \mathrm{m^2}\) です。先端面積は側面積の約1.2%なので、ここでは断熱先端近似を使います。

手順3：一次元近似を確認する

断面方向のBiot数は、

\[
\mathrm{Bi}_{\mathrm{trans}}
=
\frac{h(A_c/P)}{k}
=
\frac{25(1.00\times10^{-4}/0.104)}{205}
=1.17\times10^{-4}
\]

です。十分小さいため、断面内の温度を一様とする一次元近似は妥当です。

手順4：\(m\) と \(mL\) を求める

したがって、

\[
mL=(11.26)(0.080)=0.901
\]

です。

手順5：先端温度を求める

断熱先端フィンでは、

\[
\frac{T_L-T_\infty}{T_b-T_\infty}
=
\frac{1}{\cosh(mL)}
\]

なので、

\[
\begin{aligned}
T_L
&=
T_\infty+
\frac{T_b-T_\infty}{\cosh(mL)}\\
&=
25+
\frac{75}{\cosh(0.901)}\\
&=
\boxed{77.3\,{}^\circ\mathrm{C}}
\end{aligned}
\]

となります。先端は周囲温度 (25\,{}^\circ\mathrm{C}) より十分高く、フィン全体が伝熱に寄与していることがわかります。

手順6：フィンからの伝熱速度を求める

です。

手順7：フィン効率を求める

断熱先端なので \(A_f=PL\) です。

\[
A_f=(0.104)(0.080)
=8.32\times10^{-3}\ \mathrm{m^2}
\]

フィン全体が根元温度に保たれた場合の最大伝熱速度は、

\[
\dot Q_{f,\max}
=hA_f(T_b-T_\infty)
=(25)(8.32\times10^{-3})(75)
=15.6\ \mathrm{W}
\]

です。したがって、

となり、フィン効率は約79.6%です。

手順8：フィン有効度を求める

フィンを付けず、根元断面積 \(A_c\) が空気に露出していた場合の伝熱速度は、

\[
\dot Q_{\mathrm{no\ fin}}
=hA_c(T_b-T_\infty)
=(25)(1.00\times10^{-4})(75)
=0.1875\ \mathrm{W}
\]

です。したがって、

となります。この条件では、フィンを取り付けることで、フィンが占める根元面積からの伝熱速度が約66倍になっています。

フィンを長くすればよいとは限らない

フィン長さ \(L\) を増やすと、\(\tanh(mL)\) は1へ近づきます。したがって、伝熱速度は、

\[
\dot Q_f
\to
\sqrt{hPkA_c}(T_b-T_\infty)
\]

という有限値へ近づきます。先端付近がほぼ周囲温度になった後で、さらに長さを増やしても、追加部分はほとんど熱を移動させません。

一方で、長くすると材料費、重量、設置空間、汚れの付着面積、流動抵抗が増えます。実際の設計では、伝熱量だけでなく、コストと圧力損失を含めて最適化します。

フィンを密に並べればよいとは限らない

同じ基部面積へ多くのフィンを設ければ、幾何学的な面積は増えます。しかし、間隔が狭すぎると次の問題が起こります。

• 流路が狭くなり、空気が通りにくくなる
• 圧力損失が増え、ファン動力が増加する
• 隣接フィンの速度境界層・温度境界層が干渉する
• 自然対流では浮力による上昇流が妨げられる
• 粉じん、スケール、霜が詰まりやすくなる
• 清掃や点検が難しくなる

この場合、フィン表面の \(h\) は裸面と同じではなくなります。境界層の基礎は、速度境界層・温度境界層・濃度境界層を参照してください。

自然対流フィンと強制対流フィン

フィンの基礎式は同じでも、熱伝達係数 \(h\) の求め方は流れによって異なります。

• 自然対流：温度差による浮力で流れが生じ、フィン間隔や向きが重要
• 強制対流：ファンやポンプで流れを与え、流速・流路・圧力損失が重要

自然対流の \(h\) はRayleigh数とNusselt数から、強制対流の \(h\) はReynolds数・Prandtl数・Nusselt数から求めるのが基本です。詳しくは、自然対流熱伝達とNusselt数・Prandtl数と対流熱伝達を参照してください。

実設備で考慮する補正要因

基礎式から実設備へ進むときは、次の影響を確認します。

• 根元の接触熱抵抗：フィンと基部の接合が不完全だと、根元へ熱が入りにくい
• 基部温度の低下：壁自体にも熱抵抗があり、全フィンで同じ \(T_b\) にならない場合がある
• 熱伝達係数の分布：入口・出口、先端、フィン間で \(h\) が変化する
• 放射伝熱：高温では放射が無視できず、単純な一定 \(h\) では表せない
• 物性値の温度依存性：\(k\) や流体物性が大きく変化する
• 汚れ・腐食・霜：熱抵抗と流動抵抗が増え、有効面積が減少する
• 製作制約：材料、接合法、強度、振動、熱膨張、清掃性を確認する

熱伝達係数と抵抗の考え方は、移動係数・境膜・総括移動係数も参考にしてください。

フィン伝熱を計算する手順

1. 形状を整理する：\(L\)、\(A_c\)、\(P\)、\(A_f\) を求める
2. 温度条件を定める：\(T_b\) と \(T_\infty\) を確認する
3. 物性と熱伝達係数を決める：フィン材料の \(k\) と流体側の \(h\) を求める
4. 一次元近似を確認する：\(h(A_c/P)/k\ll1\) を確認する
5. 先端条件を選ぶ：断熱、対流、規定温度、無限長を区別する
6. \(m\) と \(mL\) を計算する：\(m=\sqrt{hP/(kA_c)}\)
7. 温度分布と伝熱速度を求める：境界条件に合う解を使う
8. 効率と有効度を確認する：\(\eta_f\) と \(\varepsilon_f\) を区別する
9. フィン群を計算する：基部露出面積と全表面効率を使う
10. 実設備の補正を確認する：接触抵抗、放射、フィン間干渉、汚れ、圧力損失を評価する

よくある間違い

間違い	正しい考え方
増えた面積へそのまま \(hA(T_b-T_\infty)\) を使う	フィン温度は位置で変わるため、フィン効率を掛ける
\(A_c\) と \(A_f\) を同じ面積として扱う	\(A_c\) は伝導断面、\(A_f\) は対流表面積
\(P\) にフィン幅だけを使う	流体に接する断面の周長を使う
フィン効率とフィン有効度を混同する	効率は理想フィン、有効度はフィンなし面との比較
先端条件を確認せず断熱先端解を使う	先端面積と側面積、先端の \(h\) を確認する
長くするほど伝熱量が長さに比例して増える	\(\tanh(mL)\) が1へ近づくため、増加量は次第に小さくなる
フィンを密にすれば \(h\) は変わらない	境界層干渉と流路抵抗によって \(h\) が変化する
全表面積にフィン根元面積を重複して加える	露出基部面積 \(A_b\) とフィン面積を分ける
根元は必ず壁温と同じと考える	接触抵抗と壁内熱抵抗を確認する

確認問題

3問のミニテストで、ここまでの内容を確認しましょう。選択すると、その場で正誤と解説が表示されます。

QUICK CHECK

1 / 3

伝熱工学・初級

このミニテストの回答結果は保存されません。学習記録を残す場合は化工演習室をご利用ください。

まとめ

• フィンは、固体表面の面積を増やして伝熱を促進する拡大伝熱面である
• 熱はフィン内部を伝導しながら、側面から対流によって周囲へ移動する
• 一様断面・定常・一次元・一定物性では、\(d^2\theta/dx^2-m^2\theta=0\) となる
• フィンパラメータは \(m=\sqrt{hP/(kA_c)}\) である
• 断熱先端フィンの伝熱速度は \(\dot Q_f=\sqrt{hPkA_c}(T_b-T_\infty)\tanh(mL)\) である
• フィン効率は、フィン全体が根元温度にある理想状態と比べた指標である
• フィン有効度は、フィンを付けない根元面と比べて伝熱が何倍になったかを表す
• 高熱伝導率で、\(P/A_c\) が大きい薄いフィンほど有効になりやすい
• フィンを長くしても伝熱速度は有限値へ近づき、追加効果は次第に小さくなる
• 実設備では、フィン間隔、圧力損失、接触抵抗、汚れ、放射、製作性も考慮する

フィン伝熱は、Fourierの法則とNewtonの冷却則が一つの微分方程式に結びつく代表的な問題です。「根元から先端へ熱を運ぶ能力」と「表面から周囲へ熱を逃がす能力」の競争として捉えると、\(m\)、効率、有効度の意味を理解しやすくなります。

参考資料

• Lienhard IV and Lienhard V, A Heat Transfer Textbook, 6th ed., Section 4.5 Fin design（フィン方程式、効率、有効度、設計上の考え方）
• MIT OpenCourseWare, Introduction to Engineering Heat Transfer, Part 3, Heat Transfer From a Fin（一次元近似、微小要素の収支、温度分布）
• NPTEL, Heat Transfer, Lecture 12（長方形フィンのエネルギー収支と基礎式）
• NPTEL, Module 3: Steady State One-Dimensional Conduction（先端条件、フィン効率・有効度、全表面効率）