化学工学の基礎を、原理・数式と直感的なイメージの両面から、初学者にもわかりやすくお届けします。
この記事は、AIのかこまるが本文と画像を作成し、人間のサイト管理者が内容を確認して投稿・公開しています。
金属のスプーンを熱い飲み物に入れると、しばらくして持ち手まで熱くなります。これは、物体の中を温度の高い側から低い側へ熱が移動する熱伝導によるものです。
熱伝導を数式で表す出発点がFourierの法則（フーリエの法則）です。Fourierの法則は「温度勾配から熱流束を求める構成式」であり、エネルギー保存則と組み合わせると、温度分布の時間変化を表す熱伝導方程式を導けます。
この記事では、Fourierの法則の意味、熱流束と伝熱速度の違い、熱伝導方程式の導出、初期条件・境界条件の選び方、Fourier数による時間尺度の見積もりまでを、例題とともに解説します。
- Fourierの法則 \(\boldsymbol{q}”=-k\nabla T\) の意味と負号の役割
- 熱流束 \(q”\)、伝熱速度 \(\dot Q\)、体積発熱速度 \(\dot q”’\) の違い
- エネルギー保存則から熱伝導方程式を導く手順
- 定常・非定常、内部発熱あり・なしで式がどう変わるか
- 温度指定、熱流束指定、断熱、対流境界の使い分け
- 熱拡散率、熱伝導の時間尺度、Fourier数の意味
- 平板・円筒・球で熱伝導方程式の形が変わる理由
平板・円筒壁・多層壁の定常計算を先に確認したい方は、熱伝導の計算方法と熱抵抗も参考にしてください。本記事では、計算公式の背後にある微分方程式と条件設定に重点を置きます。
Fourierの法則とは
等方性の物質では、熱伝導による熱流束ベクトルは次式で表されます。
\boxed{
\boldsymbol{q}”=-k\nabla T
}
\]
| 記号 | 意味 | SI単位 |
|---|---|---|
| \(\boldsymbol{q}”\) | 熱伝導による熱流束ベクトル | \(\mathrm{W/m^2}\) |
| \(k\) | 熱伝導率 | \(\mathrm{W/(m\,K)}\) |
| \(T\) | 温度 | \(\mathrm{K}\) または \(^{\circ}\mathrm{C}\) |
| \(\nabla T\) | 温度勾配 | \(\mathrm{K/m}\) |
一次元の \(x\) 方向だけに温度が変化する場合は、
\[
\boxed{
q_x”=-k\frac{dT}{dx}
}
\]
となります。熱伝導率 \(k\) が大きい物質ほど、同じ温度勾配に対して大きな熱流束が生じます。熱伝導率を含む代表的な物性値の違いは、密度・粘度・比熱・熱伝導率・拡散係数で整理しています。
負号は「高温側から低温側へ」を表す
温度勾配 \(dT/dx\) は、\(x\) の正方向へ温度がどれだけ増えるかを表します。一方、自然な熱伝導は温度が下がる方向へ起こるため、熱流束の向きは温度勾配と反対です。これを表すのが負号です。
たとえば、\(x\) の正方向へ温度が低下して \(dT/dx<0\) なら、
\[
q_x”=-k\frac{dT}{dx}>0
\]
となり、熱は \(x\) の正方向へ流れます。式を暗記するときは「熱は温度の坂を下る」と考えると、負号の意味をつかみやすくなります。
熱流束と伝熱速度は違う
熱流束 \(q”\) は、単位面積・単位時間あたりに通過する熱量です。断面積 \(A\) 全体を通る伝熱速度（熱移動速度）\(\dot Q\) は、熱流束が面内で一様なら、
\[
\boxed{
\dot Q=q”A
}
\]
です。
| 量 | 意味 | SI単位 |
|---|---|---|
| \(q”\) | 単位面積あたりの熱移動速度 | \(\mathrm{W/m^2}\) |
| \(\dot Q\) | 面全体を通る熱移動速度 | \(\mathrm{W}\) |
| \(\dot q”’\) | 単位体積あたりの発熱速度 | \(\mathrm{W/m^3}\) |
上付きの二重プライムと三重プライムには、それぞれ「面積あたり」「体積あたり」という意味があります。単位を確認すれば、3つを区別しやすくなります。
Fourierの法則は定常状態だけの法則ではない
Fourierの法則は、ある瞬間の温度勾配と熱伝導による熱流束を結び付ける構成式です。したがって、温度が時間とともに変化する非定常状態でも使います。
定常か非定常かを決めるのはFourierの法則そのものではありません。Fourierの法則をエネルギー保存則へ代入し、時間微分を残すか、定常条件としてゼロにするかで決まります。保存則と構成式の違いは、運動量・熱・物質移動に共通する輸送現象でも解説しています。
異方性材料では熱伝導率をテンソルで扱う
木材、積層材、繊維強化材、結晶などでは、方向によって熱の伝わりやすさが異なることがあります。この場合、熱伝導率は単一の数値ではなくテンソル \(\boldsymbol{K}\) で表し、
\[
\boldsymbol{q}”=-\boldsymbol{K}\nabla T
\]
とします。本記事の以降では、初学者向けに、どの方向にも同じ熱伝導率をもつ等方性材料を扱います。
定常一次元の平板では温度分布が直線になる
厚さ \(L\) の平板を考え、\(x=0\) の温度を \(T_1\)、\(x=L\) の温度を \(T_2\) とします。次の条件がすべて成り立つとします。
- 定常状態である
- 熱は \(x\) 方向だけに移動する
- 内部発熱がない
- 熱伝導率 \(k\) が一定である
- 断面積 \(A\) が一定である
このとき熱流束は位置によらず一定で、温度分布は、
\[
T(x)=T_1+\frac{T_2-T_1}{L}x
\]
という直線になります。Fourierの法則へ代入すると、\(T_1>T_2\) の場合、高温面から低温面へ向かう熱流束の大きさは、
\boxed{
q”=k\frac{T_1-T_2}{L}
}
\qquad
\boxed{
\dot Q=kA\frac{T_1-T_2}{L}
}
\]
です。熱伝導抵抗を、
\[
R_{\mathrm{cond}}=\frac{L}{kA}
\]
と定義すれば、
\[
\dot Q=\frac{T_1-T_2}{R_{\mathrm{cond}}}
\]
と書けます。
内部発熱がある、熱伝導率が温度で変化する、断面積が変化する、円筒・球座標である、といった場合には、一般に温度分布は直線になりません。
計算例1：平板を通る熱流束と伝熱速度
厚さ \(L=0.020\ \mathrm{m}\)、熱伝導率 \(k=0.50\ \mathrm{W/(m\,K)}\) の平板があります。高温面は \(100\ ^{\circ}\mathrm{C}\)、低温面は \(40\ ^{\circ}\mathrm{C}\)、伝熱面積は \(A=0.40\ \mathrm{m^2}\) です。高温面から低温面へ流れる熱流束と伝熱速度を求めます。
高温面から低温面へ向かう向きを正とすると、温度差は、
\[
\Delta T=100-40=60\ \mathrm{K}
\]
です。したがって、
\[
\begin{aligned}
q”
&=k\frac{\Delta T}{L}\\
&=0.50\times\frac{60}{0.020}\\
&=1.50\times10^3\ \mathrm{W/m^2}
\end{aligned}
\]
となります。面全体を通る伝熱速度は、
\[
\begin{aligned}
\dot Q
&=q”A\\
&=(1.50\times10^3)(0.40)\\
&=600\ \mathrm{W}
\end{aligned}
\]
です。
\boxed{q”=1.50\times10^3\ \mathrm{W/m^2}}
\qquad
\boxed{\dot Q=600\ \mathrm{W}}
\]
温度差では、ケルビンとセルシウス度の数値差は同じです。ただし、放射伝熱や温度依存物性を扱うときは絶対温度が必要になります。
熱伝導方程式をエネルギー保存則から導く
Fourierの法則だけでは、温度が時間とともにどう変わるかは決まりません。微小な検査体積に対するエネルギー保存則と組み合わせます。
熱伝導だけが起こる静止固体を考え、密度 \(\rho\) と比熱 \(c_p\) を一定とします。単位体積あたりのエネルギー収支は、
です。ベクトル表記では、
\[
\rho c_p\frac{\partial T}{\partial t}
=-\nabla\cdot\boldsymbol{q}”+\dot q”’
\]
となります。発散 \(\nabla\cdot\boldsymbol{q}”\) は検査体積から外へ出ていく熱流束の正味量を表すため、正味流入には負号が付きます。
ここへFourierの法則、
\[
\boldsymbol{q}”=-k\nabla T
\]
を代入すると、
\boxed{
\rho c_p\frac{\partial T}{\partial t}
=\nabla\cdot\left(k\nabla T\right)+\dot q”’
}
\]
を得ます。これが、内部発熱と熱伝導率の空間変化を含めた熱伝導方程式です。
物性値が一定なら熱拡散方程式になる
熱伝導率 \(k\) も一定なら、\(k\) を微分の外へ出せます。
\[
\rho c_p\frac{\partial T}{\partial t}
=k\nabla^2T+\dot q”’
\]
両辺を \(\rho c_p\) で割り、熱拡散率を、
\[
\boxed{
\alpha=\frac{k}{\rho c_p}
}
\]
と定義すると、
\boxed{
\frac{\partial T}{\partial t}
=\alpha\nabla^2T
+\frac{\dot q”’}{\rho c_p}
}
\]
となります。内部発熱がなければ、
\[
\boxed{
\frac{\partial T}{\partial t}=\alpha\nabla^2T
}
\]
です。これは熱拡散方程式とも呼ばれます。
熱拡散率 \(\alpha\) の単位は \(\mathrm{m^2/s}\) です。\(\alpha\) が大きいほど、物体内部の温度差が短時間で広がり、温度分布が均一化しやすくなります。\(\alpha\) は熱伝導率だけでなく、熱を蓄える能力を表す体積熱容量 \(\rho c_p\) にも左右されます。
温度曲線の「曲がり」が時間変化を生む
一次元・内部発熱なしでは、
\[
\frac{\partial T}{\partial t}
=\alpha\frac{\partial^2T}{\partial x^2}
\]
です。右辺の二階微分は温度分布の曲率を表します。
- \(\partial^2T/\partial x^2>0\)：その位置の温度は上昇する
- \(\partial^2T/\partial x^2<0\)：その位置の温度は低下する
- \(\partial^2T/\partial x^2=0\)：内部発熱がなければ、その位置の温度は変化しない
直感的には、周囲から入ってくる熱が出ていく熱より多ければ温度が上がり、逆なら温度が下がります。熱伝導方程式は、その差を温度曲線の曲がりとして表しています。
定常状態ではPoisson方程式またはLaplace方程式になる
定常状態では \(\partial T/\partial t=0\) なので、
\[
\nabla\cdot(k\nabla T)+\dot q”’=0
\]
です。さらに \(k\) が一定なら、
\[
\boxed{
\nabla^2T+\frac{\dot q”’}{k}=0
}
\]
となります。内部発熱もなければ、
\[
\boxed{\nabla^2T=0}
\]
というLaplace方程式です。
\(k\) が温度や位置によって変わる場合は、\(\nabla\cdot(k\nabla T)\) の形を保ちます。積の微分があるため、一般に \(\nabla\cdot(k\nabla T)\neq k\nabla^2T\) です。
流体が動く場合は移流項が加わる
静止固体では熱伝導だけを考えればよい一方、流体が速度 \(\boldsymbol{u}\) で動くと、流れによってエネルギーが運ばれます。密度・比熱が一定で、圧力仕事や粘性散逸などを無視できる場合、温度のエネルギー方程式は、
\[
\rho c_p
\left(
\frac{\partial T}{\partial t}
+\boldsymbol{u}\cdot\nabla T
\right)
=\nabla\cdot(k\nabla T)+\dot q”’
\]
となります。\(\boldsymbol{u}\cdot\nabla T\) が移流項です。流体の伝熱問題では、熱伝導方程式だけでなく、流れ場と対流伝熱を合わせて考える必要があります。
熱伝導方程式には初期条件と境界条件が必要
微分方程式だけでは、温度分布は一意に決まりません。「最初にどのような温度だったか」と「物体の表面で何が起きるか」を指定します。
初期条件
非定常問題では、通常、時刻 \(t=0\) の温度分布を指定します。
\[
\boxed{
T(\boldsymbol{x},0)=T_0(\boldsymbol{x})
}
\]
物体全体が一様温度 \(T_i\) から始まるなら、\(T_0(\boldsymbol{x})=T_i\) です。定常問題では時間変化を解かないため、初期条件は不要です。
代表的な境界条件
外向き単位法線を \(\boldsymbol{n}\) とし、表面から外へ出る熱流束を正とします。この符号規約では、代表的な境界条件を次のように整理できます。
| 種類 | 指定する量 | 代表式 | 例 |
|---|---|---|---|
| 温度指定 Dirichlet条件 |
表面温度 | \(T=T_s\) | 一定温度に保たれた面 |
| 熱流束指定 Neumann条件 |
表面熱流束 | \(-k\,\partial T/\partial n=q_{\mathrm{out}}”\) | 表面熱流束が指定された面 |
| 断熱・対称条件 | 熱流束ゼロ | \(\partial T/\partial n=0\) | 断熱面、対称中心 |
| 対流境界 Robin条件 |
熱伝達係数と周囲温度 | \(-k\,\partial T/\partial n=h(T_s-T_\infty)\) | 空気や液体へ放熱する表面 |
境界条件の符号は、法線方向と熱流束の正方向をどう定義するかで見え方が変わります。上の表では外向きを正としているため、ヒーターから物体へ熱を与える内向きの熱流束は \(q_{\mathrm{out}}”<0\) です。式だけを暗記せず、表面から外へ熱が出るのか、物体へ入るのかを図に描いて確認してください。
異なる固体の接触面
接触熱抵抗を無視できる理想的な接触面では、
- 接触面の両側で温度が連続する
- 同じ向きに定義した法線方向の熱流束が連続する
という条件を使います。一方、接触熱抵抗 \(R_c”\) がある場合は、1側から2側へ向かう熱流束を \(q”>0\) と定義すると、同じ熱流束が流れていても、
\[
T_1-T_2=q”R_c”
\]
の温度差が生じます。「接触面では必ず温度が連続する」と一般化しないことが重要です。
境界層と表面条件の考え方は、速度・温度・濃度境界層、熱伝達係数と抵抗の扱いは、移動係数・総括係数・移動抵抗で詳しく解説しています。
計算例2：内部発熱がある平板の最高温度
厚さ \(2L\) の平板が一様に発熱し、両表面が温度 \(T_s\) に保たれています。中心を \(x=0\)、片側の表面を \(x=L\) とします。定常・一次元、\(k\) 一定とすると、熱伝導方程式は、
\[
\frac{d^2T}{dx^2}+\frac{\dot q”’}{k}=0
\]
です。中心は対称面、表面は温度指定なので、境界条件は、
\[
\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=0}=0
\qquad
T(L)=T_s
\]
です。熱伝導方程式を2回積分して境界条件を適用すると、
\boxed{
T(x)=T_s+\frac{\dot q”’}{2k}\left(L^2-x^2\right)
}
\]
を得ます。最高温度は対称中心 \(x=0\) に現れ、
\[
\boxed{
T_{\max}=T_s+\frac{\dot q”’L^2}{2k}
}
\]
です。
数値として、
\[
\dot q”’=4.0\times10^5\ \mathrm{W/m^3},\quad
k=2.0\ \mathrm{W/(m\,K)},\quad
L=0.010\ \mathrm{m},\quad
T_s=40\ ^{\circ}\mathrm{C}
\]
を代入すると、
\[
\begin{aligned}
T_{\max}
&=40+
\frac{(4.0\times10^5)(0.010)^2}{2(2.0)}\\
&=50.0\ ^{\circ}\mathrm{C}
\end{aligned}
\]
となります。また、中心から \(x=0.006\ \mathrm{m}\) の位置では、
\[
T(0.006)
=40+
\frac{4.0\times10^5}{2(2.0)}
\left(0.010^2-0.006^2\right)
=46.4\ ^{\circ}\mathrm{C}
\]
です。
平板内部の各位置で熱が生まれるため、中心へ近いほど、表面までに運び出す熱の量が増えます。その結果、温度勾配は一定にならず、温度分布は放物線になります。
非定常熱伝導の時間尺度とFourier数
内部発熱のない熱伝導方程式、
\[
\frac{\partial T}{\partial t}=\alpha\nabla^2T
\]
で、時間変化の大きさを \(\Delta T/t_d\)、空間変化の大きさを \(\Delta T/L^2\) と見積もると、
\[
\frac{\Delta T}{t_d}
\sim
\alpha\frac{\Delta T}{L^2}
\]
より、このオーダー評価をもとに代表時間を、
\boxed{
t_d\equiv\frac{L^2}{\alpha}
}
\]
と定義します。熱が影響する距離のオーダーは、逆に、
\[
L_T\sim\sqrt{\alpha t}
\]
と見積もれます。
無次元時間として使われるFourier数は、
\boxed{
\mathrm{Fo}=\frac{\alpha t}{L^2}=\frac{t}{t_d}
}
\]
です。
- \(\mathrm{Fo}\ll1\)：熱の影響が代表長さ全体へ十分に広がっていない
- \(\mathrm{Fo}\sim1\)：代表長さと同程度の距離へ熱が広がる時間尺度
- \(\mathrm{Fo}\gg1\)：初期状態の影響が小さくなりやすい
\(\mathrm{Fo}\sim1\) は時間尺度の目安です。定常状態へどこまで近づいたかは、形状、境界条件、Biot数、初期条件、許容する温度誤差によって変わります。
計算例3：熱拡散時間とFourier数
熱拡散率 \(\alpha=1.2\times10^{-7}\ \mathrm{m^2/s}\) の材料について、代表長さを \(L=6.0\ \mathrm{mm}\) とします。熱拡散時間のオーダーは、
\[
\begin{aligned}
t_d
&=\frac{L^2}{\alpha}\\
&=\frac{(6.0\times10^{-3})^2}{1.2\times10^{-7}}\\
&=300\ \mathrm{s}
=5.0\ \mathrm{min}
\end{aligned}
\]
です。
時刻 \(t=120\ \mathrm{s}\) では、
\[
\mathrm{Fo}
=\frac{(1.2\times10^{-7})(120)}{(6.0\times10^{-3})^2}
=0.40
\]
となります。一方、\(t=1200\ \mathrm{s}\) では \(\mathrm{Fo}=4.0\) です。
\boxed{t_d=300\ \mathrm{s}=5.0\ \mathrm{min}}
\qquad
\boxed{\mathrm{Fo}(120\ \mathrm{s})=0.40}
\]
代表長さ \(L\) の定義は問題によって異なります。非定常平板の厳密解では半厚さ、円柱・球では半径を使うことが多い一方、集中熱容量法のBiot数では \(L_c=V/A_s\) を使います。使用する式の定義を必ず確認してください。
半無限固体の温度分布は誤差関数で表される
十分に厚い固体が一様温度 \(T_i\) にあり、時刻 \(t=0\) から表面 \(x=0\) を一定温度 \(T_s\) に保つ問題を考えます。熱の影響が裏面へ届かない時間範囲では、固体を半無限と近似できます。
物性一定・内部発熱なしなら、解は、
\boxed{
\frac{T(x,t)-T_s}{T_i-T_s}
=\operatorname{erf}
\left(
\frac{x}{2\sqrt{\alpha t}}
\right)
}
\]
です。相補誤差関数 \(\operatorname{erfc}(\eta)=1-\operatorname{erf}(\eta)\) を使うと、
\[
T(x,t)
=T_i+(T_s-T_i)
\operatorname{erfc}
\left(
\frac{x}{2\sqrt{\alpha t}}
\right)
\]
とも書けます。
式の中に \(x/\sqrt{\alpha t}\) が現れることからも、温度変化が及ぶ距離が \(\sqrt{\alpha t}\) のオーダーで広がることがわかります。
観察している時間内に、裏面境界の影響を無視できるほど厚い、という近似です。時間が長くなって熱が裏面へ届けば、有限厚さの問題として解く必要があります。
平板・円筒・球では方程式の形が変わる
同じ熱伝導でも、座標系によって微小体積の面積が変わるため、Laplacian \(\nabla^2T\) の形が変わります。物性一定、半径方向だけに温度が変化する場合を整理すると次のようになります。
| 形状 | 熱伝導方程式 | 定常・発熱なしの一般解 |
|---|---|---|
| 一次元平板 | \(\displaystyle \frac{\partial T}{\partial t}=\alpha\frac{\partial^2T}{\partial x^2}+\frac{\dot q”’}{\rho c_p}\) | \(T=A x+B\) |
| 十分に長い円柱の半径方向 | \(\displaystyle \frac{\partial T}{\partial t}=\alpha\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial T}{\partial r}\right)+\frac{\dot q”’}{\rho c_p}\) | \(T=A\ln r+B\quad(r>0)\) |
| 球の半径方向 | \(\displaystyle \frac{\partial T}{\partial t}=\alpha\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial T}{\partial r}\right)+\frac{\dot q”’}{\rho c_p}\) | \(T=A/r+B\quad(r>0)\) |
表の対数解と \(1/r\) の解は、中心を含まない円筒壁・球殻の領域 \(r>0\) で使う一般解です。固体円柱や固体球の中心 \(r=0\) を含む場合は、温度が有限であることと対称条件 \(\partial T/\partial r=0\) を使います。定常・内部発熱なしで中心を含む場合、発散する項の係数は \(A=0\) となるため、温度は一様になります。
円筒壁では半径が大きくなるほど伝熱面積が増えます。定常状態で総伝熱速度 \(\dot Q\) が一定でも、熱流束 \(q”=\dot Q/A(r)\) は半径によって変化します。このため、円筒壁の温度分布は直線ではなく対数関数になります。具体的な抵抗計算は、平板・円筒壁・多層壁の熱伝導を参照してください。
Fourierの法則とFickの法則は同じ構造をもつ
熱伝導と分子拡散を並べると、輸送現象の類似性がよくわかります。
| 現象 | 流束を表す構成式 | 発展方程式 | 拡散しやすさ |
|---|---|---|---|
| 熱伝導 | \(\boldsymbol{q}”=-k\nabla T\) | \(\partial T/\partial t=\alpha\nabla^2T\) | 熱拡散率 \(\alpha\) |
| 物質拡散 | \(\boldsymbol{J}_A=-D_{AB}\nabla C_A\) | \(\partial C_A/\partial t=D_{AB}\nabla^2C_A\) | 拡散係数 \(D_{AB}\) |
どちらも「ポテンシャルの勾配に逆らって流束が生じる」「保存則へ代入すると拡散方程式になる」という共通構造をもちます。表の発展方程式は、物性値または拡散係数が一定で、熱の内部発熱や物質の反応・生成がなく、移流を無視できる場合の形です。Fickの法則と拡散方程式は、Fickの第1法則・第2法則で詳しく解説しています。
ただし、熱伝導率 \(k\) と熱拡散率 \(\alpha\) は同じ量ではありません。Fourierの法則の係数は \(k\)、温度の時間発展を支配する係数は \(\alpha=k/(\rho c_p)\) です。この点は、Fickの法則で同じ拡散係数 \(D_{AB}\) が両方に現れる場合との違いです。
熱伝導問題を解く基本手順
- 対象と座標系を決める
平板、円筒、球のどれか、一次元近似が可能かを確認します。 - 定常か非定常かを判断する
非定常なら初期条件が必要です。 - 内部発熱の有無を確認する
反応熱、電気抵抗発熱、核発熱などを \(\dot q”’\) へ含めます。 - 物性値の扱いを決める
\(k\)、\(\rho\)、\(c_p\) を一定とみなせるか、温度依存性を考慮するかを決めます。 - 熱伝導方程式を書く
形状と仮定に合う座標系で式を簡略化します。 - 初期条件・境界条件を書く
温度指定、熱流束指定、断熱、対流、接触面を区別します。 - 解析解・数値解・時間尺度を選ぶ
単純形状なら解析解、複雑形状・変物性なら差分法や有限要素法を検討します。 - 単位と極限を確認する
熱流束と伝熱速度、表面と中心、\(t=0\) と長時間極限を確認します。
よくある間違い
| 間違い | 正しい考え方 |
|---|---|
| Fourierの法則は定常専用だと思う | 瞬間ごとの温度勾配と熱流束を結ぶ構成式なので、非定常でも使う |
| \(q”\) と \(\dot Q\) を混同する | 熱流束に面積を掛けると伝熱速度になる。単位を確認する |
| \(\dot q”’\) を熱流束として使う | \(\dot q”’\) は体積発熱速度であり、単位は \(\mathrm{W/m^3}\) |
| 変化する \(k\) を微分の外へ出す | \(\nabla\cdot(k\nabla T)\) の形を保つ |
| 内部発熱があっても温度分布を直線とする | 一定発熱・平板では放物線になる |
| 円筒・球でも \(d^2T/dr^2\) だけを使う | 座標系に応じたLaplacianを使う |
| 境界条件の符号だけを暗記する | 外向き法線と正の熱流束方向を図示する |
| \(\mathrm{Fo}=1\) を定常到達時刻と断定する | Fourier数は時間尺度。近さは解と許容誤差で判断する |
| 熱伝導率が大きければ熱拡散率も必ず大きいと思う | \(\alpha=k/(\rho c_p)\) なので体積熱容量も確認する |
確認問題
3問のミニテストで、ここまでの内容を確認しましょう。選択すると、その場で正誤と解説が表示されます。
QUICK CHECK
1 / 3伝熱工学・初級
このミニテストの回答結果は保存されません。学習記録を残す場合は化工演習室をご利用ください。
まとめ
- Fourierの法則 \(\boldsymbol{q}”=-k\nabla T\) は、温度勾配と熱伝導による熱流束を結び付ける構成式である
- 負号は、熱が高温側から低温側へ流れることを表す
- 熱流束 \(q”\) は \(\mathrm{W/m^2}\)、伝熱速度 \(\dot Q\) は \(\mathrm{W}\)、体積発熱速度 \(\dot q”’\) は \(\mathrm{W/m^3}\) である
- エネルギー保存則へFourierの法則を代入すると、\(\rho c_p\partial T/\partial t=\nabla\cdot(k\nabla T)+\dot q”’\) を得る
- 物性一定・発熱なしでは、\(\partial T/\partial t=\alpha\nabla^2T\) となる
- 非定常問題には初期条件が必要で、表面では温度指定、熱流束指定、断熱、対流などの境界条件を使い分ける
- 熱伝導の代表時間を \(t_d\equiv L^2/\alpha\) と定義すると、Fourier数は \(\mathrm{Fo}=\alpha t/L^2=t/t_d\) である
- 平板、円筒、球ではLaplacianの形が異なるため、形状に合う方程式を使う
Fourierの法則は、熱伝導の計算公式を覚えるためだけの式ではありません。エネルギー保存則、初期条件、境界条件と組み合わせることで、定常から非定常、平板から円筒・球までを一貫して考えるための出発点になります。
かこまるの化工演習室では、化学工学の基礎を分野別の確認テストで復習できます。学習履歴も残せるので、記事を読んだ後のアウトプットに使ってください。
かこまるの化工演習室を開く
参考資料
- MIT OpenCourseWare 18.303: The Heat Equation
- MIT OpenCourseWare 2.051: Introduction to Heat Transfer, Equation Sheet
- MIT OpenCourseWare 3.185: Heat Transfer Handout
- NPTEL: General Heat Conduction Equation
- NASA Technical Memorandum 110427: Steady-State and Transient Boundary Element Methods for Coupled Heat Conduction
- U.S. Department of Energy: DOE Fundamentals Handbook, Heat Transfer
コメント