Navier–Stokes方程式とは？各項の意味・導出・簡略化を例題で解説

配管内の速度分布、圧力損失、境界層、撹拌槽の流れ、液滴や粒子のまわりの流れ。これらの流動現象を支える中心的な方程式が、Navier–Stokes（ナビエ–ストークス）方程式です。

名前や式の見た目は難しそうですが、基本原理はNewtonの運動方程式と同じです。

流体に働く圧力、粘性力、重力を数え、流体粒子の加速度と結び付けるとNavier–Stokes方程式が得られます。

ただし、教科書でよく見る簡潔な形は、どの流体にも無条件で使える一般式ではありません。Newton流体、非圧縮性、密度・粘度一定などの仮定を加えた形です。本記事では、一般の運動量保存式から仮定を一つずつ加え、各項の物理的意味と簡略化の手順を説明します。

Navier–Stokes方程式は質量保存を表す連続の式と同時に使います。先に連続の式の微分形を確認すると、本記事の導出を理解しやすくなります。

Navier–Stokes方程式とは

Navier–Stokes方程式は、粘性を持つ流体の運動量保存を表す偏微分方程式です。

非圧縮性・Newton流体で密度 \(\rho\) と粘度 \(\mu\) が一定なら、代表的なベクトル形式は、

です。同時に、非圧縮性の連続の式、

\[
\boxed{
\nabla\cdot\boldsymbol{u}=0
}
\]

も満たす必要があります。

記号	意味	SI単位
\(\rho\)	流体密度	\(\mathrm{kg/m^3}\)
\(\boldsymbol{u}\)	速度ベクトル	\(\mathrm{m/s}\)
\(t\)	時間	\(\mathrm{s}\)
\(p\)	圧力	\(\mathrm{Pa}\)
\(\mu\)	粘度、粘性係数	\(\mathrm{Pa\cdot s}\)
\(\boldsymbol{g}\)	重力加速度ベクトル	\(\mathrm{m/s^2}\)
\(\nabla\)	空間微分をまとめた演算子	―

流体粒子の加速度は2種類ある

固体粒子の速度が \(\boldsymbol{u}(t)\) なら、加速度は \(d\boldsymbol{u}/dt\) です。一方、流体の速度は位置と時間の関数、

\[
\boldsymbol{u}
=
\boldsymbol{u}(x,y,z,t)
\]

です。流体粒子が移動すると、同じ時刻でも異なる速度の場所へ入るため、時間変化だけでなく空間変化も加速度へ寄与します。

流体粒子を追跡した速度変化である物質微分は、

です。

項	名称	物理的な意味
\(\partial\boldsymbol{u}/\partial t\)	局所加速度	固定位置における速度の時間変化
\((\boldsymbol{u}\cdot\nabla)\boldsymbol{u}\)	対流加速度	流体粒子が速度の異なる場所へ移動することで生じる加速度

定常流れでも加速度はゼロとは限らない

定常状態では \(\partial\boldsymbol{u}/\partial t=0\) ですが、空間的に速度が変われば対流加速度は残ります。

たとえば、定常状態のノズルでは固定位置の速度は時間変化しません。しかし、流体粒子は狭い断面へ進むにつれて速くなるため、加速しています。定常と加速度ゼロを混同しないことが重要です。

流体に働く力を整理する

流体要素に働く力は、大きく表面力と体積力に分けられます。

圧力による力

圧力は面に垂直に作用します。微小流体要素の両面で圧力が異なると、単位体積あたりの正味圧力は、

\[
\boxed{
-\nabla p
}
\]

となります。負号は、高圧側から低圧側へ押す向きであることを示します。

粘性による力

粘性応力をテンソル \(\boldsymbol{\tau}\) とすると、粘性応力の空間変化による単位体積あたりの力は、

\[
\boxed{
\nabla\cdot\boldsymbol{\tau}
}
\]

です。粘性は、隣り合う流体層の速度差を小さくするように運動量を輸送します。

粘度・動粘度・Newton流体の基礎は、粘度とは？粘性係数・動粘度の違いを参照してください。

重力などの体積力

重力は流体要素の質量全体へ作用します。単位体積あたりでは、

\[
\boxed{
\rho\boldsymbol{g}
}
\]

です。電磁流体では電磁力、回転座標系では遠心力やCoriolis力などを追加する場合があります。

運動量保存からCauchyの運動方程式を得る

Newtonの第2法則を微小流体要素へ適用します。

各項を代入すると、

となります。これはCauchyの運動方程式です。

この段階では、粘性応力 \(\boldsymbol{\tau}\) と速度場の関係をまだ指定していません。そのため、Newton流体にも非Newton流体にも使える運動量保存の骨格です。

Newton流体の構成式を代入する

等方的なNewton流体では、粘性応力は速度勾配に比例します。一般的な表現は、

\[
\boxed{
\boldsymbol{\tau}
=
\mu
\left[
\nabla\boldsymbol{u}
+
(\nabla\boldsymbol{u})^{\mathsf{T}}
\right]
+
\lambda
(\nabla\cdot\boldsymbol{u})\boldsymbol{I}
}
\]

です。

ここで \(\lambda\) は第二粘性係数に関係する係数、\(\boldsymbol{I}\) は単位テンソルです。\(\mu\) と \(\lambda\) が一定なら、

\[
\nabla\cdot\boldsymbol{\tau}
=
\mu\nabla^2\boldsymbol{u}
+
(\mu+\lambda)
\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{u})
\]

となります。

さらに非圧縮性流れでは、

\[
\nabla\cdot\boldsymbol{u}=0
\]

なので第二項が消え、

\[
\boxed{
\nabla\cdot\boldsymbol{\tau}
=
\mu\nabla^2\boldsymbol{u}
}
\]

となります。

これをCauchyの運動方程式へ代入すると、

\[
\boxed{
\rho\frac{D\boldsymbol{u}}{Dt}
=
-\nabla p
+
\mu\nabla^2\boldsymbol{u}
+
\rho\boldsymbol{g}
}
\]

を得ます。物質微分を展開したものが、冒頭で示した非圧縮性Navier–Stokes方程式です。

温度やせん断速度で粘度が大きく変化する場合、非Newton流体である場合、圧縮性が重要な場合は、粘性応力のモデルやエネルギー式・状態方程式を含めて扱う必要があります。

Navier–Stokes方程式の各項の意味

\[
\rho
\left[
\frac{\partial\boldsymbol{u}}{\partial t}
+
(\boldsymbol{u}\cdot\nabla)\boldsymbol{u}
\right]
=
-\nabla p
+
\mu\nabla^2\boldsymbol{u}
+
\rho\boldsymbol{g}
\]

を各項に分けます。

項	名称	意味
\(\rho\,\partial\boldsymbol{u}/\partial t\)	非定常慣性項	固定位置での速度変化に必要な運動量変化
\(\rho(\boldsymbol{u}\cdot\nabla)\boldsymbol{u}\)	対流慣性項	流れが運動量を運ぶ効果
\(-\nabla p\)	圧力項	圧力差によって流体を押す力
\(\mu\nabla^2\boldsymbol{u}\)	粘性項	速度のむらを平滑化する運動量拡散
\(\rho\boldsymbol{g}\)	体積力項	重力など、流体体積全体へ作用する力

すべての項は単位体積あたりの力、

\[
\mathrm{N/m^3}
\]

の次元を持ちます。密度で割れば、すべて加速度 \(\mathrm{m/s^2}\) の次元になります。

Cartesian座標のx方向成分

速度を \(\boldsymbol{u}=(u,v,w)\) とすると、x方向のNavier–Stokes方程式は、

\[
\boxed{
\begin{aligned}
\rho
\left(
\frac{\partial u}{\partial t}
+u\frac{\partial u}{\partial x}
+v\frac{\partial u}{\partial y}
+w\frac{\partial u}{\partial z}
\right)
=&-\frac{\partial p}{\partial x}\\
&+\mu
\left(
\frac{\partial^2u}{\partial x^2}
+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}
+\frac{\partial^2u}{\partial z^2}
\right)
+\rho g_x
\end{aligned}
}
\]

です。y方向とz方向にも同様の運動量方程式があります。

非圧縮性三次元流れでは、3本の運動量式と1本の連続の式を組み合わせて、速度3成分と圧力を求めます。速度と圧力が互いに影響するため、方程式は連成しています。

なぜNavier–Stokes方程式は難しいのか

特に難しさを生むのが、対流項、

\[
(\boldsymbol{u}\cdot\nabla)\boldsymbol{u}
\]

です。未知の速度が、その速度自身の空間微分に掛かるため、方程式は非線形になります。

また、実際の問題では複雑な形状、入口条件、壁面条件、自由表面、乱流、温度・密度変化なども加わります。一般の三次元・非定常流れには簡単な解析解がなく、多くの場合はCFDによって近似的に解きます。

ただし、条件を整理して不要な項を消すと、解析的に解ける重要な流れが得られます。Navier–Stokes方程式を学ぶ目的は、すべてをそのまま解くことだけではなく、どの項が支配的かを見抜くことにもあります。

代表的な簡略化

定常流れ

固定位置で速度が時間変化しなければ、

\[
\frac{\partial\boldsymbol{u}}{\partial t}=0
\]

です。ただし、対流加速度は残る場合があります。

非粘性流れ：Euler方程式

粘性力を無視できる領域では、\(\mu\nabla^2\boldsymbol{u}\) を省略し、

\[
\boxed{
\rho\frac{D\boldsymbol{u}}{Dt}
=
-\nabla p
+
\rho\boldsymbol{g}
}
\]

となります。これがEuler方程式です。

定常・非圧縮・非粘性などの条件で流線に沿って積分すると、Bernoulliの式へつながります。詳しくはベルヌーイの式とは？導出・使い方・適用条件を参照してください。

流体が静止している場合：静水圧式

\(\boldsymbol{u}=0\) なら、慣性項と粘性項が消え、

\[
\boxed{
\nabla p=\rho\boldsymbol{g}
}
\]

となります。

鉛直上向きを \(z\) の正方向、重力加速度の大きさを \(g\) とすると、

\[
\boxed{
\frac{dp}{dz}=-\rho g
}
\]

です。これは深い位置ほど圧力が高くなる静水圧式です。

低Reynolds数流れ：Stokes方程式

Reynolds数が十分小さく、さらに定常または局所加速度も十分小さいため、慣性項全体を粘性項に対して無視できる場合は、

\[
\boxed{
0
=
-\nabla p
+
\mu\nabla^2\boldsymbol{u}
+
\rho\boldsymbol{g}
}
\]

となります。これはStokes流れ、またはcreeping flowの方程式です。微小粒子の沈降や高粘度流体のゆっくりした流れで重要です。

Reynolds数は慣性項と粘性項の比

代表速度を \(U\)、代表長さを \(L\) とすると、対流慣性項と粘性項の大きさは、

\[
\text{慣性項}
\sim
\rho\frac{U^2}{L}
\]

\[
\text{粘性項}
\sim
\mu\frac{U}{L^2}
\]

と見積もれます。両者の比は、

です。

– \(\mathrm{Re}\ll1\)：粘性項が支配的で、慣性項を無視しやすい
– \(\mathrm{Re}\gg1\)：慣性項の相対的重要度が高い

ただし、Reynolds数が大きいから粘性が完全にゼロになるわけではありません。壁面近傍の境界層では、薄い領域に大きな速度勾配が生じるため、粘性項が重要になります。

Reynolds数の計算と層流・乱流の判定は、Reynolds数とは？層流・乱流の判定で解説しています。

計算例1：Reynolds数から支配項を比べる

代表速度 \(U=0.0100\ \mathrm{m/s}\)、代表長さ \(L=2.00\times10^{-3}\ \mathrm{m}\) の流れを考えます。

流体Aは \(\rho_A=1200\ \mathrm{kg/m^3}\)、\(\mu_A=1.20\ \mathrm{Pa\cdot s}\) です。

\[
\begin{aligned}
\mathrm{Re}_A
&=\frac{\rho_AUL}{\mu_A}\\
&=\frac{(1200)(0.0100)(2.00\times10^{-3})}{1.20}\\
&=0.0200
\end{aligned}
\]

したがって、粘性支配のStokes流れに近いと予想できます。

流体Bは \(\rho_B=1000\ \mathrm{kg/m^3}\)、\(\mu_B=1.00\times10^{-3}\ \mathrm{Pa\cdot s}\) です。

\[
\begin{aligned}
\mathrm{Re}_B
&=\frac{(1000)(0.0100)(2.00\times10^{-3})}{1.00\times10^{-3}}\\
&=20.0
\end{aligned}
\]

同じ速度・長さでも、流体Bでは慣性項の相対的重要度が流体Aよりはるかに大きくなります。

計算例2：静水圧差をNavier–Stokes方程式から求める

静止した水中で、上側と3.00 m下側の圧力差を求めます。水の密度を \(\rho=998\ \mathrm{kg/m^3}\)、重力加速度を \(g=9.80665\ \mathrm{m/s^2}\) とします。

\[
\begin{aligned}
\Delta p
&=\rho g\Delta h\\
&=(998)(9.80665)(3.00)\\
&=2.936\times10^4\ \mathrm{Pa}\\
&=29.4\ \mathrm{kPa}
\end{aligned}
\]

したがって、

\[
\boxed{
\Delta p=29.4\ \mathrm{kPa}
}
\]

です。流体が静止している場合も、Navier–Stokes方程式は圧力勾配と重力のつり合いを表します。

Navier–Stokes方程式を解くには条件が必要

偏微分方程式だけでは、具体的な速度場・圧力場は一つに決まりません。形状、物性、初期条件、境界条件を指定します。

条件	代表例	意味
初期条件	\(\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x},0)=\boldsymbol{u}_0\)	非定常計算の初めの速度場
壁面条件	\(\boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{\mathrm{wall}}\)	粘性流体のno-slip条件
入口条件	速度分布、流量、質量流量など	装置へ入る流れを指定
出口条件	圧力、応力、十分発達条件など	装置から出る流れを指定
対称条件	法線速度ゼロ、法線方向勾配ゼロなど	対称面を通る流れや変化を制限

粘性流体が静止した固体壁に接する場合、壁面で流体速度がゼロになるno-slip条件を用いるのが基本です。入口・出口で速度と圧力を過剰に指定すると、数学的に矛盾する場合があるため、未知数と方程式に合った条件を選びます。

円管流へ適用してHagen–Poiseuille式を導く

半径 \(R\)、長さ \(L\) の水平な直円管をNewton流体が流れる場合を考えます。

仮定は次のとおりです。

• 定常
• 非圧縮性、密度・粘度一定
• 層流
• 軸対称
• 十分発達した流れ
• 半径方向・周方向速度はゼロ
• 管軸方向速度 \(u_z\) は半径 \(r\) だけの関数
• 管は水平で、軸方向重力を無視

これらの仮定により、軸方向のNavier–Stokes方程式は、

まで簡略化されます。

入口圧力を \(p_{\mathrm{in}}\)、出口圧力を \(p_{\mathrm{out}}\)、圧力差を、

\[
\Delta p
=p_{\mathrm{in}}-p_{\mathrm{out}}>0
\]

とすると、

\[
\frac{dp}{dz}=-\frac{\Delta p}{L}
\]

です。

中心 \(r=0\) で速度勾配が有限、壁面 \(r=R\) でno-slip条件 \(u_z(R)=0\) を使って積分すると、

を得ます。速度分布は放物線です。

中心速度と断面平均速度は、

\[
\boxed{
u_{\max}
=
\frac{\Delta pR^2}{4\mu L}
}
\]

\[
\boxed{
\bar u
=
\frac{\Delta pR^2}{8\mu L}
=
\frac{u_{\max}}{2}
}
\]

です。断面積分すると体積流量は、

となります。これがHagen–Poiseuille式です。

計算例3：円管の流量と速度分布

内径 \(D=10.0\ \mathrm{mm}\)、長さ \(L=2.00\ \mathrm{m}\) の水平円管を、密度 \(\rho=1000\ \mathrm{kg/m^3}\)、粘度 \(\mu=0.0500\ \mathrm{Pa\cdot s}\) のNewton流体が流れます。圧力差は \(\Delta p=20.0\ \mathrm{kPa}\) です。Hagen–Poiseuille式が使えるとして、流量、平均速度、中心速度を求めます。

半径は、

\[
R=5.00\times10^{-3}\ \mathrm{m}
\]

です。体積流量は、

\[
\begin{aligned}
Q
&=\frac{\pi R^4\Delta p}{8\mu L}\\
&=\frac{\pi(5.00\times10^{-3})^4(2.00\times10^4)}
{8(0.0500)(2.00)}\\
&=4.91\times10^{-5}\ \mathrm{m^3/s}\\
&=2.95\ \mathrm{L/min}
\end{aligned}
\]

です。断面積は \(\pi R^2\) なので、

\[
\begin{aligned}
\bar u
&=\frac{Q}{\pi R^2}\\
&=0.625\ \mathrm{m/s}
\end{aligned}
\]

中心速度は、

\[
u_{\max}=2\bar u=1.25\ \mathrm{m/s}
\]

です。

したがって、

\[
\boxed{
Q=4.91\times10^{-5}\ \mathrm{m^3/s}
=2.95\ \mathrm{L/min}
}
\]

\[
\boxed{
\bar u=0.625\ \mathrm{m/s},
\qquad
u_{\max}=1.25\ \mathrm{m/s}
}
\]

となります。

適用条件を確認するため、管径基準のReynolds数を計算します。

\[
\begin{aligned}
\mathrm{Re}_D
&=\frac{\rho\bar uD}{\mu}\\
&=\frac{(1000)(0.625)(0.0100)}{0.0500}\\
&=125
\end{aligned}
\]

十分に小さく、層流の仮定と整合しています。

Hagen–Poiseuille式とDarcy–Weisbach式の関係

円管内の十分発達した層流では、Darcyの管摩擦係数は、

\[
\boxed{
f=\frac{64}{\mathrm{Re}_D}
}
\]

です。これをDarcy–Weisbach式、

\[
\Delta p
=
f\frac{L}{D}
\frac{\rho\bar u^2}{2}
\]

へ代入すると、Hagen–Poiseuille式と同じ圧力損失関係が得られます。

実際の配管で層流・乱流を含めて摩擦係数を求める方法は、管摩擦係数・ムーディー線図・Colebrook式を参照してください。

Navier–Stokes方程式を読む手順

1. 座標系と正方向を決める：Cartesian、円筒、球座標から形状に合うものを選ぶ。
2. 流体モデルを決める：Newton流体か、非Newton流体かを確認する。
3. 圧縮性を判断する：密度一定とみなせるか、連続の式・状態方程式がどうなるか確認する。
4. 定常性を判断する：局所加速度を消せるか確認する。
5. 流れの方向と対称性を確認する：ゼロとなる速度成分・空間微分を整理する。
6. Reynolds数で項の大きさを見積もる：慣性項と粘性項のどちらが重要か考える。
7. 体積力を確認する：重力や回転座標系の力を残すか判断する。
8. 境界条件・初期条件を設定する：壁面、入口、出口、対称面を指定する。
9. 簡略化後に式を解く：仮定と消した項を明記して積分または数値計算する。
10. 得られた解を検証する：連続の式、単位、境界条件、Reynolds数との整合性を確認する。

よくある間違い

間違い	確認すること
定常なら加速度がゼロだと考える	局所加速度は消えるが、対流加速度は残り得る
簡潔な式をすべての流体へ使う	Newton流体、非圧縮、一定物性という仮定を確認する
粘性ゼロと壁面のno-slipを同時に使う	非粘性近似の適用領域と壁面近傍を区別する
Reynolds数が大きいと粘性を完全に無視する	境界層や壁面せん断では粘性が重要になる
連続の式を使わず運動量式だけ解く	質量保存と運動量保存を同時に満たす
Cartesian座標のLaplacianを円管へそのまま使う	円筒座標の演算子を使う
Hagen–Poiseuille式を乱流へ使う	層流・十分発達・Newton流体などの条件を確認する
圧力差の符号を逆にする	\(\Delta p=p_{\mathrm{in}}-p_{\mathrm{out}}>0\) など定義を先に書く
境界条件を過剰または不足させる	入口・出口・壁面で何を指定するか整理する

確認問題

3問のミニテストで、ここまでの内容を確認しましょう。選択すると、その場で正誤と解説が表示されます。

QUICK CHECK

1 / 3

流動工学・初級

このミニテストの回答結果は保存されません。学習記録を残す場合は化工演習室をご利用ください。

まとめ

• Navier–Stokes方程式は、粘性流体の運動量保存を表す
• 出発点は、質量×加速度＝圧力力＋粘性力＋体積力である
• 流体粒子の加速度は局所加速度と対流加速度の和である
• 定常状態でも、速度が空間変化すれば対流加速度は残る
• Cauchyの運動方程式へNewton流体の応力モデルを代入するとNavier–Stokes方程式を得る
• 非圧縮・密度一定・粘度一定なら \(\rho D\boldsymbol{u}/Dt=-\nabla p+\mu\nabla^2\boldsymbol{u}+\rho\boldsymbol{g}\) となる
• 粘性を無視するとEuler方程式、静止流体では静水圧式、低Re流れではStokes方程式へ簡略化できる
• Reynolds数は慣性項と粘性項の大きさの比を表す
• 円管の十分発達した層流へ適用すると、放物線速度分布とHagen–Poiseuille式を導ける
• 方程式を解くには、連続の式、物性、形状、初期条件、境界条件が必要である

Navier–Stokes方程式は、長い式をそのまま暗記するより、「運動量の蓄積・対流と、圧力・粘性・重力のつり合い」として読むことが大切です。各項の意味と仮定を理解すれば、複雑な式から対象の流れに必要な部分だけを残せるようになります。

参考資料

• MIT OpenCourseWare: Chapter 30—Navier–Stokes Equations
• MIT OpenCourseWare: Equations of Viscous Flow
• NPTEL: Differential Momentum Equation and Navier–Stokes Equation
• NPTEL: Hagen–Poiseuille Flow
• NASA Glenn Research Center: Navier–Stokes Equations