粘度とは？粘性係数・動粘度の違いと計算方法を例題でわかりやすく解説

粘度は、流体の「流れにくさ」や「変形への抵抗」を表す物性値です。水はさらさら流れ、はちみつや高粘度油はゆっくり流れます。この違いを定量的に表すのが粘度です。

化学工学では、配管の圧力損失、レイノルズ数、撹拌、流動、伝熱、物質移動など、非常に多くの計算で粘度を使います。また、「粘度」と呼ばれる量には、粘度（粘性係数・絶対粘度）と動粘度があり、単位と計算式が異なります。

この記事では、ニュートンの粘性法則から粘度を定義し、粘度と動粘度、Pa·s・cP・cStの換算、温度の影響、ニュートン流体と非ニュートン流体、測定方法まで例題で解説します。

粘度とは

粘度は、流体内部で隣り合う層が異なる速度で動くときに生じる、せん断変形への抵抗を表します。流体の層同士が相対的に滑ると、分子運動や分子間相互作用によって運動量が交換され、速度差を小さくする向きに力が働きます。

IUPACは動的粘度を、層流におけるせん断応力と、せん断面に垂直な方向の速度勾配との比として定義しています。

身近なイメージでは、粘度が小さい水は小さな力で変形し、粘度が大きいはちみつは同じ速さで変形させるために大きな力が必要です。

ニュートンの粘性法則

平行な2枚の板の間に流体を入れ、下の板を固定し、上の板を一定速度で動かす状況を考えます。流体が壁面ですべらないとすると、下側では流速が0、上側では板と同じ流速になります。

ニュートン流体では、流体に働くせん断応力 \(\tau\) は速度勾配に比例します。

\[
\boxed{
\tau
=
\mu
\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}
}
\]

記号	意味	SI単位
\(\tau\)	せん断応力	\(\mathrm{Pa}\)
\(\mu\)	粘度・粘性係数	\(\mathrm{Pa\,s}\)
\(u\)	流れ方向の速度	\(\mathrm{m/s}\)
\(y\)	速度に垂直な方向の座標	\(\mathrm{m}\)
\(\mathrm{d}u/\mathrm{d}y\)	速度勾配・せん断速度	\(\mathrm{s^{-1}}\)

粘度について解けば、

\[
\boxed{
\mu
=
\frac{\tau}{
\mathrm{d}u/\mathrm{d}y
}
}
\]

となります。つまり粘度は、「単位の速度勾配を生じさせるために必要なせん断応力」と解釈できます。

せん断応力とは

せん断応力は、面に平行な方向へ働く力を面積で割った量です。

\[
\boxed{
\tau=\frac{F}{A}
}
\]

圧力も力を面積で割った量ですが、圧力は面に垂直に働き、せん断応力は面に平行に働く点が異なります。

ニュートンの粘性法則と組み合わせると、流体層を動かすために必要な力は、

\[
F
=
\mu
\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}
A
\]

となります。粘度、速度勾配、せん断面積が大きいほど、必要な力も大きくなります。

粘度のSI単位

ニュートンの粘性法則から、粘度の単位を確認します。単位と次元の基本は、単位と次元の記事で解説しています。

\[
\mu
=
\frac{\tau}{
\mathrm{d}u/\mathrm{d}y
}
\]

せん断応力の単位はPa、速度勾配の単位は \(\mathrm{s^{-1}}\) なので、

\[
[\mu]
=
\mathrm{Pa\,s}
\]

です。別の表し方では、

\[
\mathrm{Pa\,s}
=
\mathrm{\frac{N\,s}{m^2}}
=
\mathrm{\frac{kg}{m\,s}}
\]

となります。NISTのSIガイドでも、動的粘度のSI単位はPa·sとされています。

Pa·s、mPa·s、P、cPの換算

実務や物性表では、Pa·sのほかにmPa·sやcP（センチポアズ）を見かけます。

\[
1\,\mathrm{P}
=
0.1\,\mathrm{Pa\,s}
\]
\[
\boxed{
1\,\mathrm{cP}
=
1\,\mathrm{mPa\,s}
=
1\times10^{-3}\,\mathrm{Pa\,s}
}
\]

たとえば、粘度250 cPは、

\[
250\,\mathrm{cP}
=
250\times10^{-3}\,\mathrm{Pa\,s}
=
0.250\,\mathrm{Pa\,s}
\]

です。

動粘度とは

粘度 \(\mu\) を密度 \(\rho\) で割った量を動粘度 \(\nu\) と呼びます。

\[
\boxed{
\nu
=
\frac{\mu}{\rho}
}
\]

動粘度は、粘性による運動量の拡散しやすさを、密度の影響も含めて表す量です。SI単位は、

\[
[\nu]
=
\mathrm{\frac{Pa\,s}{kg/m^3}}
=
\mathrm{m^2/s}
\]

です。

StとcStの換算

\[
1\,\mathrm{St}
=
1\times10^{-4}\,\mathrm{m^2/s}
\]
\[
\boxed{
1\,\mathrm{cSt}
=
1\,\mathrm{mm^2/s}
=
1\times10^{-6}\,\mathrm{m^2/s}
}
\]

NISTのSIガイドでは、粘度をPa·s、動粘度をm²/sで表すことが推奨されています。cPやcStを使う場合も、計算時にはSI単位へ換算するとミスを減らせます。

粘度と動粘度の違い

比較	粘度	動粘度
記号	\(\mu\) または \(\eta\)	\(\nu\)
定義	せん断応力÷速度勾配	粘度÷密度
SI単位	\(\mathrm{Pa\,s}\)	\(\mathrm{m^2/s}\)
よく使う非SI単位	cP	cSt
主な用途	せん断応力、圧力損失、レオロジー	レイノルズ数、潤滑油の分類

同じ粘度でも密度が違えば動粘度は異なります。逆に、同じ動粘度でも密度が違えば粘度は異なります。

例題1：平行板間のせん断応力と力

粘度0.40 Pa·sのニュートン流体に、\(25\,\mathrm{s^{-1}}\) の速度勾配が生じています。せん断応力と、面積0.20 m²の板を動かすために必要な力を求めます。

1. せん断応力を求める

\[
\begin{aligned}
\tau
&=
\mu
\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y} \\
&=(0.40)(25) \\
&=10\,\mathrm{Pa}
\end{aligned}
\]

2. 力を求める

\[
\begin{aligned}
F
&=\tau A \\
&=(10)(0.20) \\
&=2.0\,\mathrm{N}
\end{aligned}
\]

せん断応力は10 Pa、必要な力は2.0 Nです。

例題2：水の粘度から動粘度を求める

20℃の水の粘度を \(1.00\times10^{-3}\,\mathrm{Pa\,s}\)、密度を \(998\,\mathrm{kg/m^3}\) とします。

\[
\begin{aligned}
\nu
&=\frac{\mu}{\rho} \\
&=
\frac{1.00\times10^{-3}}{998} \\
&=1.00\times10^{-6}\,\mathrm{m^2/s}
\end{aligned}
\]

\(1\,\mathrm{cSt}=1\times10^{-6}\,\mathrm{m^2/s}\) なので、動粘度は約1.00 cStです。

例題3：粘度の変化がレイノルズ数へ与える影響

密度850 kg/m³の油が、内径20 mmの円管を平均流速0.50 m/sで流れます。低温時の粘度が0.10 Pa·s、高温時の粘度が0.020 Pa·sの場合を比較します。

低温時

\[
\begin{aligned}
\mathrm{Re}_{\mathrm{low}}
&=
\frac{\rho \bar{v}D}{\mu_{\mathrm{low}}} \\
&=
\frac{(850)(0.50)(0.020)}{0.10} \\
&=85
\end{aligned}
\]

高温時

\[
\begin{aligned}
\mathrm{Re}_{\mathrm{high}}
&=
\frac{\rho \bar{v}D}{\mu_{\mathrm{high}}} \\
&=
\frac{(850)(0.50)(0.020)}{0.020} \\
&=425
\end{aligned}
\]

粘度が5分の1になると、レイノルズ数は5倍になります。この例ではどちらも層流域ですが、温度による粘度変化が流動状態や圧力損失へ大きく影響することがわかります。

レイノルズ数の判定方法は、レイノルズ数の記事で解説しています。

温度による粘度の変化

液体：一般に温度が上がると粘度は下がる

液体では、分子同士を引き付ける力が流動抵抗の重要な要因です。温度が上がると分子が互いに乗り越えて移動しやすくなり、多くの液体で粘度が低下します。

そのため、低温の油は流れにくく、加熱すると流れやすくなります。配管計算では運転温度だけでなく、起動時の低温条件も確認する必要があります。

気体：一般に温度が上がると粘度は上がる

気体では、分子運動による層間の運動量輸送が粘性の主な原因です。温度が上がると分子運動が活発になり、多くの希薄気体では粘度が増加します。

圧力による粘度の変化

常圧付近の液体では、温度の影響に比べて圧力の影響を小さいとみなす場合があります。しかし高圧では、液体の粘度が大きく増加することがあります。潤滑、高圧油圧、深海、高圧反応器などでは無視できません。

気体では圧力が上がると密度が変化するため、動粘度 \(\nu=\mu/\rho\) も変化します。粘度と密度を同じ温度・圧力条件でそろえることが重要です。

ニュートン流体とは

せん断応力がせん断速度に比例し、比例係数である粘度がせん断速度によらず一定の流体をニュートン流体と呼びます。

\[
\tau
=
\mu\dot{\gamma}
\]

ここで、

\[
\dot{\gamma}
=
\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}
\]

はせん断速度です。一定温度・圧力のもとで、\(\tau\) と \(\dot{\gamma}\) の関係は原点を通る直線になり、その傾きが粘度です。

水、空気、多くの低分子液体や希薄溶液は、通常の条件でニュートン流体として近似できます。

非ニュートン流体とは

せん断応力とせん断速度が単純な比例関係にならず、見かけの粘度がせん断速度や時間によって変化する流体を非ニュートン流体と呼びます。

見かけ粘度

\[
\boxed{
\mu_{\mathrm{app}}
=
\frac{\tau}{\dot{\gamma}}
}
\]

非ニュートン流体では、この見かけ粘度をどのせん断速度で評価したかを明記する必要があります。

代表的な種類

種類	特徴	例
擬塑性・せん断薄化	せん断速度が大きいほど見かけ粘度が下がる	高分子溶液、塗料、ケチャップ
ダイラタント・せん断増粘	せん断速度が大きいほど見かけ粘度が上がる	高濃度懸濁液
Bingham塑性	降伏応力を超えると流れ始める	歯磨き剤、泥漿
チキソトロピー	一定せん断を続けると見かけ粘度が下がる	一部の塗料・ゲル

べき乗則モデル

時間依存性を持たない非ニュートン流体の簡単なモデルとして、

\[
\boxed{
\tau
=
K\dot{\gamma}^{n}
}
\]

が使われます。\(K\) はコンシステンシー係数、\(n\) は流動挙動指数です。

• \(n=1\)：ニュートン流体
• \(n<1\)：せん断薄化流体
• \(n>1\)：せん断増粘流体

Binghamモデル

降伏後の理想的なBingham流体は、

\[
\tau
=
\tau_y
+
\mu_{\mathrm{p}}\dot{\gamma}
\]

と表します。\(\tau_y\) は降伏応力、\(\mu_{\mathrm{p}}\) は塑性粘度です。非ニュートン流体では、ニュートン流体用のレイノルズ数や圧力損失式をそのまま使えない場合があります。

粘度はどのように測るのか

毛細管粘度計

細い管を流れる層流の流量や通過時間から粘度を求めます。円管内の十分に発達した層流では、Hagen–Poiseuilleの関係が成り立ちます。

\[
Q
=
\frac{\pi D^4}{128\mu L}
\Delta p
\]

流量、圧力差、管寸法がわかれば粘度を求められます。低粘度のニュートン流体の測定に適しています。

回転粘度計・レオメーター

円筒、円すい、平板などを回転させ、トルクと回転速度からせん断応力とせん断速度を求めます。せん断速度を変えられるため、非ニュートン流体の流動曲線も評価できます。

落球粘度計

流体中を球が落下するときの終端速度から粘度を求めます。球まわりの流れがStokes領域にあることなど、適用条件の確認が必要です。

振動式粘度計

流体中で振動する検出部が受ける抵抗から粘度を求めます。連続測定やプロセス監視に使われることがあります。

粘度と配管の圧力損失

粘度はレイノルズ数を通じて流動状態と管摩擦係数を変えます。

\[
\mathrm{Re}_D
=
\frac{\rho \bar{v}D}{\mu}
\]

粘度が大きいほどレイノルズ数は小さくなり、層流になりやすくなります。円管内層流では、Darcy摩擦係数 \(f_{\mathrm{D}}=64/\mathrm{Re}_D\) とDarcy–Weisbachの式を組み合わせると、圧力損失は粘度と流速に比例します。

\[
\boxed{
\Delta p
=
\frac{32\mu L\bar{v}}{D^2}
}
\]

一方、乱流では粘度の影響はレイノルズ数と摩擦係数を通じて現れます。詳しい計算は、配管の圧力損失の記事で解説しています。

よくある間違い

1. 粘度と動粘度を同じものだと思う

粘度の単位はPa·s、動粘度の単位はm²/sです。両者は \(\nu=\mu/\rho\) で結ばれます。

2. cPをPa·sへ換算しない

1 cPは0.001 Pa·sです。数値をそのままSI式へ代入すると1000倍の誤差になります。

3. cPとcStを混同する

cPは粘度、cStは動粘度です。水に近い密度では数値が近くなる場合がありますが、一般には同じではありません。

4. 温度の違う物性値を使う

液体の粘度は温度で大きく変わります。運転温度、起動温度、異常時温度など、計算目的に合う条件を選びます。

5. 非ニュートン流体へ一定粘度を無条件に使う

見かけ粘度がせん断速度に依存する流体では、配管内のせん断条件に対応した粘度モデルや一般化レイノルズ数が必要です。

6. 密度と粘度の条件をそろえない

動粘度やレイノルズ数を計算するときは、同じ温度・圧力・組成における密度と粘度を使います。

7. 粘度が大きいほど必ず密度も大きいと考える

粘度と密度は異なる物性です。粘度が大きい液体でも密度が小さい場合があり、逆もあります。

次に学ぶ内容とのつながり

粘度の基本を理解したら、次の内容へ進めます。

• 非ニュートン流体の流動曲線と構成方程式
• 一般化レイノルズ数
• Hagen–Poiseuilleの式の導出
• 境界層と壁面せん断応力
• 撹拌所要動力と粘度の影響
• 温度依存性を表す粘度相関式

粘度は、流体の運動量がどのように伝わるかを決める基本物性です。流動だけでなく、伝熱や物質移動の無次元数を理解するための土台にもなります。

まとめ

• 粘度は、流体のせん断変形に対する抵抗を表す物性値
• ニュートン流体では \(\tau=\mu\,\mathrm{d}u/\mathrm{d}y\) が成り立つ
• 粘度のSI単位はPa·s、動粘度のSI単位はm²/s
• \(1\,\mathrm{cP}=1\,\mathrm{mPa\,s}=10^{-3}\,\mathrm{Pa\,s}\)
• \(1\,\mathrm{cSt}=1\,\mathrm{mm^2/s}=10^{-6}\,\mathrm{m^2/s}\)
• 粘度と動粘度は \(\nu=\mu/\rho\) で結ばれる
• 多くの液体では温度上昇で粘度が下がり、多くの希薄気体では上がる
• 非ニュートン流体では見かけ粘度がせん断条件や時間に依存する
• 粘度はレイノルズ数や配管の圧力損失を左右する

粘度を扱うときは、数値だけでなく、粘度か動粘度か、単位、温度・圧力、ニュートン流体かどうかを必ず確認しましょう。

参考資料

• IUPAC Gold Book: Dynamic Viscosity
• NIST Guide to the SI, Chapter 8: Viscosity
• NIST Guide to the SI, Chapter 5: Units Outside the SI
• NASA Glenn Research Center: Properties of Air