管摩擦係数とは？層流・乱流・Colebrook式・ムーディー線図を解説

配管の圧力損失を計算するとき、必ずといってよいほど登場するのが管摩擦係数です。しかし、教科書や資料によって式の形が違い、「同じ摩擦係数なのに値が4倍違う」「ムーディー線図のどこを読めばよいかわからない」と戸惑う人も少なくありません。

管摩擦係数は、管壁が流れへ与える抵抗を無次元化した量です。その値は、層流か乱流かを表すレイノルズ数と、管内面の粗さを表す相対粗さによって決まります。

この記事では、Darcy摩擦係数とFanning摩擦係数の違い、層流の式、Colebrook式、ムーディー線図の読み方、圧力損失への使い方を例題付きで解説します。

管摩擦係数とは

管の中を流体が流れると、管壁付近の流体は粘性によって壁から抵抗を受けます。この抵抗に逆らって流れ続けるには圧力差が必要です。直管が長いほど、流速が大きいほど、また管径が小さいほど、一般に圧力損失は大きくなります。

このとき、管壁による抵抗の強さを無次元で表した量が管摩擦係数です。Darcy摩擦係数を (f_D) とすると、十分に発達した円管内流れの直管摩擦損失は、Darcy–Weisbachの式で表せます。

\[
\boxed{
\Delta P_f
=
f_D\frac{L}{D}\frac{\rho u^2}{2}
}
\]

水頭で表す場合は、

\[
\boxed{
h_f
=
f_D\frac{L}{D}\frac{u^2}{2g}
}
\]

です。

記号	意味	SI単位
\(\Delta P_f\)	直管の摩擦による圧力損失	\(\mathrm{Pa}\)
\(h_f\)	直管の摩擦損失水頭	\(\mathrm{m}\)
\(f_D\)	Darcy摩擦係数	無次元
\(L\)	直管長さ	\(\mathrm{m}\)
\(D\)	管内径	\(\mathrm{m}\)
\(\rho\)	流体密度	\(\mathrm{kg\,m^{-3}}\)
\(u\)	管断面平均流速	\(\mathrm{m\,s^{-1}}\)
\(g\)	重力加速度	\(\mathrm{m\,s^{-2}}\)

Darcy–Weisbachの式全体とポンプ揚程への組み込み方は、配管の圧力損失とは？で詳しく解説しています。

Darcy摩擦係数とFanning摩擦係数

管摩擦係数には、主に次の2種類があります。

• Darcy摩擦係数：(f_D)、Moody摩擦係数とも呼ばれる
• Fanning摩擦係数：(f_F)、化学工学の専門書でよく使われる

両者の関係は、

\[
\boxed{
f_D=4f_F
}
\]

です。Fanning摩擦係数を使う場合、直管の圧力損失は、

\[
\boxed{
\Delta P_f
=
4f_F\frac{L}{D}\frac{\rho u^2}{2}
}
\]

と書きます。(f_D=4f_F) なので、正しく使えばどちらの式でも同じ圧力損失になります。

壁面せん断応力を ( au_w) とすると、Fanning摩擦係数は、

\[
f_F
=
\frac{\tau_w}{\rho u^2/2}
\]

と定義できます。Darcy摩擦係数はその4倍です。

摩擦係数を決める2つの無次元数

円管内の管摩擦係数を求めるとき、基本となるのがレイノルズ数と相対粗さです。

レイノルズ数

\[
\boxed{
\mathrm{Re}
=
\frac{\rho uD}{\mu}
=
\frac{uD}{\nu}
}
\]

レイノルズ数は、慣性力と粘性力の比を表します。円管内流れでは、おおよそ次のように分類します。

流動状態	レイノルズ数の目安	摩擦係数の特徴
層流	\(\mathrm{Re}\lesssim2300\)	粗さにほぼ依存せず、\(64/\mathrm{Re}\)
遷移域	\(2300\lesssim\mathrm{Re}\lesssim4000\)	流れが不安定で、単純な式による予測が難しい
乱流	\(\mathrm{Re}\gtrsim4000\)	レイノルズ数と相対粗さの両方に依存する

境界値は絶対的なものではありません。入口条件、振動、継手、管の粗さなどによって遷移の起こり方は変わります。詳しくはレイノルズ数と層流・乱流を参照してください。

相対粗さ

管内面の凹凸の代表高さを絶対粗さ (arepsilon) と呼びます。これを管内径で割った値が相対粗さです。

\[
\boxed{
\text{相対粗さ}
=
\frac{\varepsilon}{D}
}
\]

同じ絶対粗さでも、小径管ほど (arepsilon/D) が大きくなります。つまり、同じ材質であっても、管径が小さいほど凹凸を相対的に大きく感じるということです。

粗さは材質名だけで一意に決まる値ではありません。腐食、付着物、加工方法、使用年数によって変化するため、実務では設計基準、メーカー資料、検査結果などから適切な値を選びます。

層流の管摩擦係数

十分に発達したニュートン流体の円管内層流では、Darcy摩擦係数は、

\[
\boxed{
f_D
=
\frac{64}{\mathrm{Re}}
}
\]

です。Fanning摩擦係数なら、

\[
\boxed{
f_F
=
\frac{16}{\mathrm{Re}}
}
\]

となります。

この関係は、ハーゲン・ポアズイユの法則とDarcy–Weisbachの式を比較することで導けます。導出はハーゲン・ポアズイユの法則で確認できます。

例題1：層流の摩擦係数

円管内流れのレイノルズ数が (mathrm{Re}=1000) のとき、Darcy摩擦係数とFanning摩擦係数を求めます。

\[
f_D
=
\frac{64}{1000}
=
\boxed{0.064}
\]

\[
f_F
=
\frac{f_D}{4}
=
\boxed{0.016}
\]

層流では、管が水力学的に十分滑らかな範囲で、粗さを式へ入れる必要はありません。

乱流の管摩擦係数

乱流の摩擦係数は、レイノルズ数と相対粗さの両方に依存します。代表的な求め方は次の3つです。

1. ムーディー線図から読み取る
2. Colebrook式を反復計算で解く
3. Swamee–Jain式などの陽的近似式を使う

Colebrook式

乱流域のDarcy摩擦係数を表す代表的な式が、Colebrook式です。

\[
\boxed{
\frac{1}{\sqrt{f_D}}
=
-2\log_{10}
\left(
\frac{\varepsilon/D}{3.7}
+
\frac{2.51}{\mathrm{Re}\sqrt{f_D}}
\right)
}
\]

(f_D) が式の左辺と右辺の両方に含まれるため、直接代入するだけでは解けません。このような式を陰的な式と呼びます。通常は、仮の値から始めて反復計算します。

Colebrook式の反復手順

1. 初期値として、たとえば (f_D=0.02) を仮定する
2. 右辺を計算し、新しい (1/\sqrt{f_D}) を求める
3. 新しい (f_D) を計算する
4. 前回値との差が十分小さくなるまで繰り返す

表計算ソフトでは、反復式として、

\[
f_{D,n+1}
=
\left[
-2\log_{10}
\left(
\frac{\varepsilon/D}{3.7}
+
\frac{2.51}{\mathrm{Re}\sqrt{f_{D,n}}}
\right)
\right]^{-2}
\]

を使えます。

Swamee–Jain式

反復計算を避けたい場合は、陽的な近似式を使えます。代表例のSwamee–Jain式は、

\[
\boxed{
f_D
=
\frac{0.25}
{\left[
\log_{10}\left(
\frac{\varepsilon/D}{3.7}
+
\frac{5.74}{\mathrm{Re}^{0.9}}
\right)
\right]^2}
}
\]

です。(f_D) が右辺に現れないため、一度の計算で値を求められます。ただし近似式には適用範囲と誤差があるため、重要な設計では採用した式の出典と適用条件を確認してください。

滑らかな管の近似

相対粗さの影響が小さく、レイノルズ数も限定された範囲では、Blasiusの近似式、

\[
f_D
\approx
0.3164\mathrm{Re}^{-0.25}
\]

が使われることがあります。便利な式ですが、粗い管や非常に大きなレイノルズ数へ無条件に使うことはできません。

ムーディー線図とは

ムーディー線図は、Darcy摩擦係数 (f_D)、レイノルズ数 (mathrm{Re})、相対粗さ (arepsilon/D) の関係を一枚の図にまとめたものです。

線図では一般に、

• 横軸：レイノルズ数 (mathrm{Re})
• 縦軸：Darcy摩擦係数 (f_D)
• 曲線：相対粗さ (arepsilon/D)

を表します。横軸と縦軸には対数目盛が使われます。

ムーディー線図の読み方

1. 密度、粘度、流速、管内径からレイノルズ数を求める
2. 絶対粗さを管内径で割り、相対粗さを求める
3. 横軸でレイノルズ数の位置を探す
4. そこから上へ進み、該当する相対粗さの曲線と交わる点を探す
5. 交点から左へ進み、縦軸のDarcy摩擦係数を読む

層流域では (f_D=64/\mathrm{Re}) の一本の直線になります。乱流域では相対粗さごとに曲線が分かれます。遷移域は不確かさが大きいため、線図でも注意領域として扱われます。

完全粗面領域

レイノルズ数が非常に大きくなると、Colebrook式の粘性を表す第2項が相対的に小さくなります。この極限では、

\[
\frac{1}{\sqrt{f_D}}
\approx
-2\log_{10}
\left(
\frac{\varepsilon/D}{3.7}
\right)
\]

となり、摩擦係数はレイノルズ数にほとんど依存せず、相対粗さで決まります。ムーディー線図の右側で曲線がほぼ水平になるのはこのためです。

例題2：Colebrook式と圧力損失

次の条件で水が水平な直管を流れています。Darcy摩擦係数と直管の圧力損失を求めます。

• 密度：(
  ho=998\ \mathrm{kg\,m^{-3}})
• 粘度：(mu=1.00\times10^{-3}\ \mathrm{Pa\,s})
• 管内径：(D=0.050\ \mathrm{m})
• 平均流速：(u=2.0\ \mathrm{m\,s^{-1}})
• 管長：(L=30\ \mathrm{m})
• 絶対粗さ：(arepsilon=0.045\ \mathrm{mm}=4.5\times10^{-5}\ \mathrm{m})

1. レイノルズ数

\[
\mathrm{Re}
=
\frac{\rho uD}{\mu}
=
\frac{998\times2.0\times0.050}{1.00\times10^{-3}}
\]

\[
\boxed{
\mathrm{Re}=9.98\times10^4
}
\]

したがって、乱流として計算します。

2. 相対粗さ

\[
\frac{\varepsilon}{D}
=
\frac{4.5\times10^{-5}}{0.050}
=
\boxed{9.0\times10^{-4}}
\]

3. Colebrook式の反復

初期値を (f_D=0.0200) とすると、反復値は次のようになります。

反復回数	新しい \(f_D\)
1	0.02194
2	0.02183
3	0.02184

よって、

\[
\boxed{
f_D\approx0.02184
}
\]

です。対応するFanning摩擦係数は、

\[
f_F
=
\frac{f_D}{4}
=
\boxed{0.00546}
\]

となります。Swamee–Jain式では (f_D\approx0.02199) となり、この条件ではColebrook式と近い値が得られます。

4. 直管の圧力損失

\[
\Delta P_f
=
f_D\frac{L}{D}\frac{\rho u^2}{2}
\]

\[
=
0.02184
\times
\frac{30}{0.050}
\times
\frac{998\times(2.0)^2}{2}
\]

\[
\boxed{
\Delta P_f
\approx2.62\times10^4\ \mathrm{Pa}
=26.2\ \mathrm{kPa}
}
\]

Fanning形式で計算しても、

\[
4f_F
=
4\times0.00546
=0.02184
\]

なので、同じ (26.2\ \mathrm{kPa}) になります。

摩擦係数を求める実用的な手順

1. 使う定義を確認する：DarcyかFanningかを先に決める
2. 単位をSIへそろえる：特に粘度、管径、粗さに注意する
3. レイノルズ数を求める：層流・遷移域・乱流を判定する
4. 相対粗さを求める：乱流の場合は (arepsilon/D) を計算する
5. 対応する式を選ぶ：層流なら (64/\mathrm{Re})、乱流ならColebrook式など
6. 圧力損失式と整合させる：摩擦係数の定義と式の先頭係数を確認する
7. 局所損失を別に加える：弁、エルボ、入口、出口などの損失も考慮する

局所損失については、損失係数Kと相当長さで解説しています。

よくある間違い

1. DarcyとFanningを混同する

最も多い間違いです。摩擦係数の値だけでなく、圧力損失式の形まで一組として確認します。

2. 絶対粗さをそのままムーディー線図へ使う

線図で使うのは通常、絶対粗さ (arepsilon) ではなく相対粗さ (arepsilon/D) です。粗さと管径の単位もそろえます。

3. 層流へColebrook式を使う

層流では (f_D=64/\mathrm{Re}) を使います。遷移域では流れが不安定なため、単一の相関式だけで高精度に決まるとは限りません。

4. 管の呼び径を内径として使う

流速、レイノルズ数、相対粗さ、(L/D) には内径を使います。呼び径と実際の内径は同じとは限りません。

5. 新品管の粗さを古い配管へ使う

腐食、スケール、付着物によって粗さと有効内径は変化します。長期運転後の圧力損失を評価するときは、管の状態を反映します。

6. 入口助走区間を無視する

ここで扱った式は、流れが十分に発達した直管を基本とします。短い管、入口直後、急縮小直後などでは、速度分布が発達途中で追加の影響を受けます。

7. 気体の密度変化を無視する

圧力損失が絶対圧力に比べて大きい気体流れでは、密度を一定とする扱いが適切でない場合があります。圧縮性を考慮した計算が必要です。

適用時の注意

この記事で扱った一般的な関係は、主に定常で十分に発達した円管内流れを対象としています。次のような場合は、追加の検討が必要です。

• 非ニュートン流体
• 固液・気液などの多相流
• 圧縮性の影響が大きい高速気体流れ
• 極端に短い管や入口助走区間
• 長方形流路、環状流路などの非円形流路
• 強い加熱・冷却で物性が大きく変わる流れ

非円形流路では水力直径を使う方法がありますが、どの相関式にも無条件に適用できるわけではありません。対象形状と流動状態に対応する資料を確認してください。

確認問題

3問のミニテストで、ここまでの内容を確認しましょう。選択すると、その場で正誤と解説が表示されます。

QUICK CHECK

1 / 3

流動工学・初級

このミニテストの回答結果は保存されません。学習記録を残す場合は化工演習室をご利用ください。

まとめ

• 管摩擦係数は、管壁による流動抵抗を無次元化した量である
• Darcy摩擦係数とFanning摩擦係数には (f_D=4f_F) の関係がある
• 層流では (f_D=64/\mathrm{Re})、(f_F=16/\mathrm{Re}) である
• 乱流の摩擦係数は、レイノルズ数と相対粗さ (arepsilon/D) に依存する
• Colebrook式は陰的な式なので、反復計算して解く
• ムーディー線図は、Darcy摩擦係数、レイノルズ数、相対粗さの関係を示す
• 圧力損失を計算するときは、摩擦係数の定義と使用する式を必ず整合させる

管摩擦係数は一見すると単なる係数ですが、層流・乱流、粘性、管の粗さを一つの計算へ結び付ける重要な量です。「DarcyかFanningか」「層流か乱流か」「絶対粗さか相対粗さか」の3点を確認すれば、配管計算の混乱を大きく減らせます。

参考資料

• L. F. Moody, Friction Factors for Pipe Flow, Transactions of the ASME, 1944
• C. F. Colebrook, Turbulent Flow in Pipes, with Particular Reference to the Transition Region between the Smooth and Rough Pipe Laws, 1939
• P. K. Swamee and A. K. Jain, Explicit Equations for Pipe-Flow Problems, Journal of the Hydraulics Division, 1976
• U.S. DOE/NETL, FECM/NETL CO2 Transport Cost Model: Description and User’s Manual, 2022