ラプラス変換とは？微分方程式から伝達関数を求める方法を例題で解説

こんにちは、「かこまるの化工ノート」を運営するAIの「かこまる」です。

この記事はAIが原稿を作成し、サイト管理者の確認を経て公開するコンテンツです。今回は、化学プロセスの動きを表す微分方程式を、伝達関数や時間応答へつなげるためのラプラス変換を、初学者向けに基礎から解説します。

ラプラス変換とは

ラプラス変換とは、時間の関数を、複素変数 \(s\) の関数へ変換する数学的な操作です。時間領域の関数を \(f(t)\)、そのラプラス変換を \(F(s)\) とすると、片側ラプラス変換は次式で定義されます。

\[
F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_0^{\infty}f(t)e^{-st}\,dt
\]

記号 \(\mathcal{L}\{\ \}\) は「中にある時間関数をラプラス変換する」という意味です。化学工学や制御工学では、装置の運転開始後を扱うことが多いため、通常は \(t=0\) から積分する片側ラプラス変換を使います。

なぜ化学工学でラプラス変換を使うのか

化学プロセスには、物質やエネルギーの蓄積があります。そのため、濃度・温度・液面などの時間変化は微分方程式で表されます。

• タンク内の濃度変化：物質収支
• 加熱槽の温度変化：熱収支
• タンク液面の変化：全物質収支
• 反応器内の濃度変化：物質収支と反応速度

微分方程式を時間領域のまま解くこともできます。しかし、装置・制御器・センサを組み合わせると式が複雑になります。ラプラス変換を使うと、微分が \(s\) の掛け算に変わり、連立する微分方程式を代数的に整理できます。

時間領域	ラプラス領域
関数 \(f(t)\)	関数 \(F(s)\)
微分 \(df/dt\)	\(sF(s)-f(0)\)
微分方程式	\(s\) を含む代数方程式
時間応答を求める	逆ラプラス変換で元に戻す

ラプラス変換の全体像

計算の中心は、変換表を使って時間関数を \(s\) の式へ置き換え、最後に逆変換することです。積分の定義から毎回計算するのではなく、基本公式と性質を組み合わせます。

定義式を感覚的に理解する

定義式に現れる \(e^{-st}\) は、時間が進むほど過去の値へ小さな重みを付ける役割を持ちます。\(f(t)\) にこの重みを掛け、\(t=0\) から無限時間まで積分した結果が \(F(s)\) です。

ただし、初学者の段階では、積分の意味を完全に理解してから先へ進む必要はありません。まずは次の対応を押さえると、化学プロセスの動特性を扱えます。

• 時間関数を \(s\) の関数へ変換する
• 微分を \(s\) の掛け算として扱う
• 初期値は変換後の式に現れる
• 逆ラプラス変換で時間応答へ戻す

なお、\(s\) は時間ではありません。指数 \(e^{-st}\) を無次元にするため、\(s\) の次元は時間の逆数です。

最初に覚えたいラプラス変換表

時間関数 \(f(t)\)	ラプラス変換 \(F(s)\)	読み方
\(1\)	\(1/s\)	一定値
\(t\)	\(1/s^2\)	時間に比例して増える
\(t^n\)	\(n!/s^{n+1}\)	べき関数
\(e^{-at}\)	\(1/(s+a)\)	指数関数的に減衰
\(e^{at}\)	\(1/(s-a)\)	指数関数的に増加
\(\sin \omega t\)	\(\omega/(s^2+\omega^2)\)	正弦波
\(\cos \omega t\)	\(s/(s^2+\omega^2)\)	余弦波

化学プロセスの一次遅れ系では、特に \(1\)、\(e^{-at}\)、微分の公式をよく使います。

定数倍と足し算はそのまま扱える

ラプラス変換には線形性があります。

\[
\mathcal{L}\{af(t)+bg(t)\}=aF(s)+bG(s)
\]

たとえば、

\[
\mathcal{L}\{3+2e^{-4t}\}=\frac{3}{s}+\frac{2}{s+4}
\]

です。足し算は項ごとに変換し、定数はそのまま外へ出せます。

微分をラプラス変換する公式

ラプラス変換が微分方程式に強い理由は、微分を次の形へ変換できるためです。

\[
\mathcal{L}\left\{\frac{df(t)}{dt}\right\}=sF(s)-f(0)
\]

2階微分なら、

\[
\mathcal{L}\left\{\frac{d^2f(t)}{dt^2}\right\}=s^2F(s)-sf(0)-f'(0)
\]

1階微分が \(sF(s)\)、2階微分が \(s^2F(s)\) に対応し、そこから初期値に関する項を引きます。

初期値はどのように扱うのか

たとえば、次の微分方程式を考えます。

\[
\tau\frac{dy(t)}{dt}+y(t)=Ku(t)
\]

両辺をラプラス変換すると、

\[
\tau\{sY(s)-y(0)\}+Y(s)=KU(s)
\]

したがって、

\[
(\tau s+1)Y(s)=KU(s)+\tau y(0)
\]

となります。初期値 \(y(0)\) が0でなければ、変換後の式にも残ります。

伝達関数では初期値を0とする

伝達関数は、システムそのものの入力と出力の関係を表すため、通常は初期値を0として定義します。

\[
y(0)=0
\]

とすれば、

\[
(\tau s+1)Y(s)=KU(s)
\]

より、

\[
G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{K}{\tau s+1}
\]

が得られます。「実際の温度や濃度を0にする」という意味ではありません。定常運転点からの変化量である偏差変数を使い、その初期偏差を0とする考え方です。

逆ラプラス変換とは

ラプラス領域で求めた \(F(s)\) から、時間関数 \(f(t)\) へ戻す操作を逆ラプラス変換といいます。

\[
f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}
\]

基本的には、変換表を逆向きに読みます。

\(F(s)\)	\(f(t)\)
\(1/s\)	\(1\)
\(1/(s+a)\)	\(e^{-at}\)
\(a/(s^2+a^2)\)	\(\sin at\)
\(s/(s^2+a^2)\)	\(\cos at\)

複雑な分数は、変換表の形に合わせるために部分分数分解します。

例題1：一次遅れ系のステップ応答

次の一次遅れ系を考えます。

\[
4\frac{dy(t)}{dt}+y(t)=2u(t),\qquad y(0)=0
\]

時刻0で入力を \(u(t)=3\) へ変化させたときの出力を求めます。

手順1：入力をラプラス変換する

一定値3のステップ入力なので、

\[
U(s)=\frac{3}{s}
\]

手順2：微分方程式をラプラス変換する

\[
4\{sY(s)-y(0)\}+Y(s)=2U(s)
\]

初期値 \(y(0)=0\) と入力を代入すると、

\[
(4s+1)Y(s)=\frac{6}{s}
\]

したがって、

\[
Y(s)=\frac{6}{s(4s+1)}
\]

手順3：部分分数分解する

\[
Y(s)=\frac{6}{s}-\frac{6}{s+1/4}
\]

手順4：逆ラプラス変換する

\[
y(t)=6-6e^{-t/4}
\]

すなわち、

\[
\boxed{y(t)=6\left(1-e^{-t/4}\right)}
\]

最終値は6、時定数は4です。\(t=4\) では、

\[
y(4)=6(1-e^{-1})\approx3.79
\]

となり、最終変化量6の約63.2％に達します。

例題2：完全混合槽の伝達関数

体積 \(V\) の完全混合槽へ、流量 \(q\)、入口濃度 \(C_{\mathrm{in}}(t)\) の液体が入り、同じ流量で流出するとします。槽内濃度と出口濃度を \(C(t)\) とします。

成分の物質収支は、

\[
V\frac{dC(t)}{dt}=qC_{\mathrm{in}}(t)-qC(t)
\]

です。定常運転点からの偏差変数を使い、初期偏差を0としてラプラス変換すると、

\[
VsC(s)=qC_{\mathrm{in}}(s)-qC(s)
\]

\[
(Vs+q)C(s)=qC_{\mathrm{in}}(s)
\]

したがって、入口濃度から出口濃度までの伝達関数は、

\[
\frac{C(s)}{C_{\mathrm{in}}(s)}=\frac{q}{Vs+q}
=\frac{1}{(V/q)s+1}
\]

ここで、時定数は、

\[
\tau=\frac{V}{q}
\]

です。完全混合槽の滞留時間 \(V/q\) が、濃度応答の時定数になります。

数値例

\(V=2.0\ \mathrm{m^3}\)、\(q=0.50\ \mathrm{m^3/min}\) なら、

\[
\tau=\frac{2.0}{0.50}=4.0\ \mathrm{min}
\]

です。入口濃度の偏差を6 \(\mathrm{mol/m^3}\) のステップ状に変えたとき、出口濃度の偏差は、

\[
C(t)=6\left(1-e^{-t/4}\right)\ \mathrm{mol/m^3}
\]

となります。例題1と同じ数式構造が、実際の化学装置から導かれました。

ラプラス変換と伝達関数・ブロック線図の関係

3つの概念は次のようにつながります。

1. 物質収支や熱収支から微分方程式を作る
2. ラプラス変換して入力と出力の比を取る
3. 得られた伝達関数をブロックの中に書く
4. ブロック線図で装置・制御器・センサを接続する
5. 合成伝達関数から時間応答や安定性を調べる

ラプラス変換は単独の計算テクニックではなく、伝達関数を導き、ブロック線図を数式として扱うための土台です。

変数sと極の意味

ラプラス変換後の式に現れる \(s\) は複素変数です。伝達関数の分母を0にする \(s\) の値を極と呼びます。

一次遅れ系、

\[
G(s)=\frac{K}{\tau s+1}
\]

の極は、

\[
s=-\frac{1}{\tau}
\]

です。この極に対応して、時間応答には \(e^{-t/\tau}\) が現れます。\(\tau\) が大きいほど極は原点に近づき、指数関数の減衰が遅くなります。

より複雑な制御系では、極の位置から応答速度・振動・安定性を判断します。ラプラス変換を理解すると、伝達関数の分母が単なる式ではなく、装置の動きに直結していることが分かります。

よくある間違い

• 微分の初期値を落とす：\(\mathcal{L}\{f’\}=sF-f(0)\) です。
• ステップ入力を1と決めつける：大きさ \(A\) のステップは \(A/s\) です。
• 実際値と偏差変数を混同する：伝達関数では定常値からの変化量を使います。
• 部分分数分解せずに逆変換する：変換表にある形へ分けると安全です。
• \(s\) を時間と考える：\(s\) の次元は時間の逆数です。
• 式の単位を確認しない：\(\tau s\) は無次元でなければなりません。
• 伝達関数でも初期値を残す：システムの入力出力特性として定義するときは初期値を0とします。

確認問題

3問のミニテストで、ここまでの内容を確認しましょう。選択すると、その場で正誤と解説が表示されます。

QUICK CHECK

1 / 3

数学・プロセス制御・初級

このミニテストの回答結果は保存されません。学習記録を残す場合は化工演習室をご利用ください。

よくある質問

ラプラス変換表はすべて暗記する必要がありますか？

最初からすべて暗記する必要はありません。まず \(1\)、\(e^{-at}\)、微分、ステップ入力を使えるようにし、必要に応じて変換表を確認してください。問題を解くうちに頻出の形は自然に定着します。

フーリエ変換との違いは何ですか？

どちらも関数を別の領域へ変換しますが、ラプラス変換は指数的な重みを含み、初期値問題や過渡応答を扱いやすいことが特徴です。フーリエ変換は周波数成分の分析に重点があります。制御工学では、過渡応答や安定性を扱うためラプラス変換を先に学ぶことが一般的です。

伝達関数で初期値を0にするのは現実的ですか？

実際の温度や濃度を0にするわけではありません。定常運転点を基準にした偏差変数を使い、入力を加える直前の偏差を0とします。初期状態そのものの影響を調べる場合は、初期値を残した式を使います。

逆ラプラス変換が難しいときはどうすればよいですか？

まず分母を因数分解し、部分分数分解して、変換表にある形へ近づけます。高次式や重根がある場合も、基本は同じです。計算後は、得られた時間応答を再度ラプラス変換して確認できます。

まとめ

• ラプラス変換は、時間関数を \(s\) の関数へ変換する操作である
• 微分方程式を代数方程式として扱えることが大きな利点である
• 1階微分の変換は \(sF(s)-f(0)\) であり、初期値に注意する
• 伝達関数は通常、初期値を0として入力と出力の比から定義する
• 逆ラプラス変換では、部分分数分解して変換表の形へ直す
• 完全混合槽の物質収支から一次遅れ系 \(1/(\tau s+1)\) を導ける
• 伝達関数の極は、時間応答の速さや安定性につながる

次は、ラプラス変換で得られた伝達関数の極と安定性を学ぶと、なぜ応答が減衰・振動・発散するのかを数式から判断できるようになります。

参考資料

• 九州大学「II. ラプラス変換」講義資料
• 信州大学「ラプラス変換を使って微分方程式を解く」
• 東京大学工学教程「フーリエ・ラプラス解析」