物質収支とは？基本式と解き方を例題でわかりやすく解説

物質収支は、化学工学のほぼすべての計算の出発点です。原料をどれだけ入れ、製品や廃棄物がどれだけ出て、装置の中にどれだけ残るかを、物質が勝手に消えたり生まれたりしないという原則に基づいて整理します。

考え方は家計簿に似ています。「入ってきた量」「出ていった量」「中に残った量」を数えるだけです。しかし、実際の問題では複数の成分、化学反応、循環流などが加わるため、正しい順番で式を立てることが重要です。

この記事では、初学者が最初に身につけたい物質収支の基本式と解き方を、混合・分離・タンク・反応の例題を使って解説します。計算前に単位換算を復習したい方は、「化学工学で使う単位と次元」もご覧ください。

物質収支とは

物質収支とは、対象とする装置や工程について、物質の出入りと内部での変化を数量的に整理することです。基礎となるのは質量保存則です。

まず、計算したい範囲を線で囲みます。この範囲を系、囲んだ線を系の境界と呼びます。化学工学では、タンク、混合器、蒸留塔、反応器だけでなく、複数の装置をまとめて一つの系として扱うこともあります。

系の境界をどこに置くかによって、収支式に現れる流れが変わります。したがって、計算を始める前に「どこからどこまでを数えるのか」を決める必要があります。

物質収支の一般式

物質収支の一般式は、次のように表されます。

\[
\mathrm{Input} + \mathrm{Generation}
– \mathrm{Output} – \mathrm{Consumption}
= \mathrm{Accumulation}
\]

日本語では、

入力＋生成－出力－消費＝蓄積

です。それぞれの意味は次のとおりです。

項	意味	例
入力	系の外から中へ入る量	タンクへ供給される水
生成	系の内部で新しく生じる量	反応で生成する製品B
出力	系の中から外へ出る量	装置から流出する製品
消費	系の内部で使われる量	反応で消費される原料A
蓄積	系の内部にある量の時間変化	タンク内の液量の増加

全体収支と成分収支

全体収支

系内のすべての成分をまとめて質量で数える式が全体質量収支です。化学反応が起こっても全質量は保存されるため、全体質量について生成項と消費項はありません。

\[
\frac{dM}{dt}
= \sum \dot{m}_{\mathrm{in}}
– \sum \dot{m}_{\mathrm{out}}
\]

ここで、\(M\) は系内の全質量、\(\dot{m}\) は質量流量です。単位にはkg/sやkg/hなどを使います。

成分収支

混合物に含まれる成分 \(i\) だけを数える式が成分収支です。

\[
\frac{dM_i}{dt}
= \sum w_{i,\mathrm{in}}\dot{m}_{\mathrm{in}}
– \sum w_{i,\mathrm{out}}\dot{m}_{\mathrm{out}}
+ \dot{m}_{i,\mathrm{gen}}
– \dot{m}_{i,\mathrm{cons}}
\]

\(w_i\) は成分 \(i\) の質量分率です。反応がなければ生成項と消費項はゼロになります。反応がある場合、反応物の成分収支には消費項、生成物の成分収支には生成項が入ります。

質量分率の合計は必ず1です。

\[
\sum_i w_i = 1
\]

モル基準で計算する場合はモル分率 \(x_i\) または \(y_i\) を使い、その合計も1になります。

定常状態と非定常状態

定常状態

系内の質量や組成が時間によって変化しない状態を定常状態といいます。定常状態では蓄積項がゼロです。

\[
\mathrm{Accumulation}=0
\]

さらに反応がなければ、全体収支は次のようになります。

\[
\sum \dot{m}_{\mathrm{in}}
= \sum \dot{m}_{\mathrm{out}}
\]

連続運転中の混合器、熱交換器、蒸留塔などは、まず定常状態を仮定して解析することが多いです。

非定常状態

系内の量や組成が時間とともに変わる状態を非定常状態または過渡状態といいます。タンクへ液をためる、装置を起動・停止する、回分反応を行う場合などが該当します。

非定常状態では、蓄積項を省略できません。

\[
\mathrm{Input}-\mathrm{Output}
= \frac{dM}{dt}
\]

回分・連続・半回分プロセス

運転方式	運転中の物質の出入り	例
回分（バッチ）	原則として運転中の流入・流出なし	ふたを閉じた回分反応器
連続	連続的に流入・流出する	連続混合槽、蒸留塔
半回分（セミバッチ）	流入または流出の一部だけがある	原料を少しずつ加える反応器

「連続プロセス＝定常状態」とは限りません。連続装置でも、立ち上げ中や流量変更後には非定常状態になります。運転方式と定常・非定常は別々に判断します。

物質収支問題を解く6つの手順

1. 系の境界を決める：どの装置、またはどの範囲を収支の対象にするか決めます。
2. 計算基準を決める：100 kgの原料、1時間の運転、1 kmolの供給など、計算の土台を決めます。
3. フロー図を描く：流入・流出の向き、流量、組成、未知数を書き込みます。
4. 仮定を整理する：定常か非定常か、反応の有無、蒸発や漏れの有無を確認します。
5. 全体収支と成分収支を立てる：独立な式を必要な数だけ作ります。
6. 単位と検算を行う：流量の単位、組成の合計、入出力の一致を確認します。

計算基準とは

組成だけが与えられ、総量が決まっていない問題では、計算しやすい量を仮に選びます。例えば「20 mass%の食塩水」であれば、基準を100 kgと置くと、食塩20 kg、水80 kgとして扱えます。

計算基準は答えそのものではなく、比率を具体的な量へ変換するための道具です。

自由度を確認する

未知数の数から、独立な式の数を引いたものを自由度と呼びます。

\[
\mathrm{DOF}
= \mathrm{Number\ of\ unknowns}
– \mathrm{Number\ of\ independent\ equations}
\]

自由度が0なら、原則として未知数を一意に求められます。正の値なら情報不足、負の値なら同じ内容の式を重複して数えている可能性があります。

例題1：2種類の食塩水を混合する

10 mass%の食塩水を100 kg/h、30 mass%の食塩水を50 kg/hで混合します。定常状態で蒸発や反応はなく、出口は1本です。出口流量と食塩濃度を求めます。

全体収支

出口流量を \(F\) kg/hとすると、

\[
100 + 50 = F
\]

したがって、

\[
F = 150\ \mathrm{kg/h}
\]

食塩の成分収支

出口の食塩質量分率を \(w\) とします。

\[
100\times0.10 + 50\times0.30
= 150w
\]

\[
w = \frac{10+15}{150}
= 0.1667
\]

したがって、出口は150 kg/h、食塩濃度16.7 mass%です。答えの濃度が10%と30%の間にあるため、直感とも一致します。

例題2：混合物を2本の流れに分離する

成分Aを40 mass%含む原料を100 kg/hで分離器へ供給します。成分Aを80 mass%含む製品流 \(P\) と、10 mass%含む残液流 \(B\) に分けるとき、それぞれの流量を求めます。

全体収支

\[
100 = P + B
\]

成分Aの収支

\[
100\times0.40
= 0.80P + 0.10B
\]

1本目の式から \(B=100-P\) として代入します。

\[
40 = 0.80P + 0.10(100-P)
\]

\[
P = 42.9\ \mathrm{kg/h},\qquad
B = 57.1\ \mathrm{kg/h}
\]

検算すると、出口の成分Aは、

\[
0.80\times42.9 + 0.10\times57.1
\approx 40.0\ \mathrm{kg/h}
\]

となり、入口の40 kg/hと一致します。

例題3：タンクに液体が蓄積する

タンクへ液体が5 kg/minで入り、3 kg/minで出ています。初めにタンク内に100 kgの液体があるとき、20分後の液量を求めます。反応や蒸発はないものとします。

全体収支は、

\[
\frac{dM}{dt} = 5-3 = 2\ \mathrm{kg/min}
\]

流入が流出より2 kg/min多いため、液量は毎分2 kgずつ増えます。

\[
M(t) = M_0 + 2t
\]

\[
M(20) = 100 + 2\times20
= 140\ \mathrm{kg}
\]

この問題は連続的に流入・流出していますが、タンク内の質量が変化するため非定常状態です。

反応がある場合の物質収支

化学反応がある場合、各成分のモル数は反応量に応じて変化します。例えば、エチレンの水素化を考えます。

\[
\mathrm{C_2H_4 + H_2 \rightarrow C_2H_6}
\]

エチレン100 mol/h、水素120 mol/hを供給し、エチレンの転化率が70%であるとします。反応したエチレンは、

\[
100\times0.70 = 70\ \mathrm{mol/h}
\]

です。化学量論係数が1：1：1なので、各出口流量は次のようになります。

成分	入口	変化	出口
\(\mathrm{C_2H_4}\)	100 mol/h	−70 mol/h	30 mol/h
\(\mathrm{H_2}\)	120 mol/h	−70 mol/h	50 mol/h
\(\mathrm{C_2H_6}\)	0 mol/h	＋70 mol/h	70 mol/h

入口の全モル流量は220 mol/h、出口は150 mol/hです。つまり、化学反応では全モル数が保存されるとは限りません。一方、炭素原子・水素原子の数と全質量は保存されます。

物質収支でよくある間違い

• 系の境界を描かずに式を立てる：どの流れが入力・出力か分からなくなります。
• 全体収支だけで組成まで求めようとする：組成未知の場合は成分収支も必要です。
• mass%をそのまま掛ける：20 mass%は分率0.20として使います。
• kg/hとkg/sを混在させる：収支式へ入れる前に時間単位をそろえます。
• 定常状態だから装置内に物質がないと考える：定常とは内部量がゼロではなく、時間変化がゼロという意味です。
• 反応で全モル数も保存されると考える：保存されるのは全質量と各元素です。
• 同じ情報から作った式を独立な式として数える：全成分収支の和は全体収支と同じになるため、式の独立性を確認します。
• 計算結果を検算しない：組成の合計が1か、流量が負になっていないかを確認します。

物質収支の検算チェックリスト

1. 系の境界と流れの向きを図示したか
2. 定常・非定常、反応の有無を明記したか
3. 質量基準とモル基準を途中で混ぜていないか
4. すべての流量の時間単位をそろえたか
5. 質量分率またはモル分率の合計が1か
6. 入口の全質量と、出口＋蓄積の全質量が一致するか
7. 反応系では元素数が保存されているか
8. 濃度や流量の答えが物理的に妥当か

確認問題

問題1：混合

20 mass%の成分Aを含む溶液を80 kg/h、50 mass%の溶液を20 kg/hで混合します。出口の流量と成分Aの濃度を求めてください。

問題2：非定常タンク

初めに50 kgの液体が入ったタンクへ4 kg/minで供給し、2.5 kg/minで取り出します。30分後の液量を求めてください。

問題3：分離

成分Aを30 mass%含む原料200 kg/hを、Aが60 mass%の製品流と、Aが10 mass%の残液流に分けます。両流量を求めてください。

解答を見る

問題1：全流量は100 kg/hです。成分Aは \(80\times0.20+20\times0.50=26\) kg/hなので、濃度は26 mass%です。

問題2：正味の蓄積速度は \(4-2.5=1.5\) kg/minです。

\[
M(30)=50+1.5\times30=95\ \mathrm{kg}
\]

問題3：製品流を \(P\)、残液流を \(B\) とすると、

\[
P+B=200
\]

\[
0.60P+0.10B=200\times0.30
\]

これを解くと、\(P=80\) kg/h、\(B=120\) kg/hです。

まとめ

• 物質収支は質量保存則に基づいて物質の出入りと蓄積を整理する方法
• 一般式は「入力＋生成－出力－消費＝蓄積」
• 定常状態では蓄積項がゼロになる
• 全体収支と成分収支を組み合わせると、未知の流量や組成を求められる
• 反応があっても全質量は保存されるが、成分量と全モル数は変化することがある
• 系の境界、計算基準、フロー図、自由度、単位、検算の順に整理すると解きやすい

物質収支は、エネルギー収支、流体工学、伝熱工学、分離工学、反応工学へ進むための共通言語です。次の記事では、複数の装置や循環流を含む系へ進む前に、物質収支の計算で頻繁に使う濃度・組成・流量の表し方を詳しく整理します。

参考資料

• NPTEL・IIT Guwahati：Basic Principles and Calculations in Chemical Engineering
• NPTEL・IIT Madras：Material and Energy Balances
• LearnChemE：Material and Energy Balances Quiz Screencasts
• CACHE：Material and Energy Balances