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配管を流れる流体を加熱・冷却するとき、「壁から流体へどれだけ速く熱が移るか」を決めるのが対流熱伝達です。
対流の計算では熱伝達係数 \(h\) を使います。しかし、\(h\) は材料固有の物性値ではありません。流速、管径、流体の物性、層流・乱流、入口からの距離などによって変化します。
この記事では、Newtonの冷却則から出発し、Reynolds数・Prandtl数・Nusselt数の意味を整理します。その後、円管内の強制対流について、層流と乱流の相関式を選び、熱伝達係数を求めるところまで例題で解説します。
伝熱の全体像は「伝熱とは？熱伝導・対流・放射の違い」、壁内部の熱伝導は「熱伝導の計算方法」を先に読むと理解しやすくなります。
対流熱伝達とは
対流熱伝達は、流体の運動と分子運動による熱拡散が組み合わさった伝熱現象です。
たとえば高温の管壁に低温の水が接すると、壁のごく近くでは熱伝導によって水へ熱が移ります。温められた水が流れによって運び去られ、代わりに低温の水が壁近くへ来ることで、伝熱が継続します。
壁面と流体の代表温度との差を使うと、対流による熱流束はNewtonの冷却則で表せます。
\[
\boxed{q”=h(T_s-T_m)}
\]
伝熱面積 \(A\) 全体では、
\[
\boxed{\dot Q=hA(T_s-T_m)}
\]
です。
- \(q”\)：熱流束 \(\mathrm{W/m^2}\)
- \(\dot Q\)：伝熱速度 \(\mathrm{W}\)
- \(h\)：対流熱伝達係数 \(\mathrm{W/(m^2\,K)}\)
- \(T_s\)：壁面温度
- \(T_m\)：流体の混合平均温度またはバルク温度
管内流では流体温度が断面内で一様でないため、通常はエンタルピー流を代表できる混合平均温度を使います。
熱伝達係数hは物性値ではない
熱伝導率 \(k\)、粘度 \(\mu\)、密度 \(\rho\)、比熱 \(c_p\) は流体の物性値です。一方、熱伝達係数 \(h\) は物性値と流れの状態をまとめた結果です。
同じ水でも、流速を上げて乱流を強くすると壁近くの流体がよく混ざり、一般に \(h\) は大きくなります。管径、表面形状、加熱条件が変わっても \(h\) は変化します。
そこで、経験的な相関式は \(h\) を直接与えるのではなく、無次元数であるNusselt数をReynolds数とPrandtl数の関数として表します。
\[
\boxed{Nu=f(Re,Pr,\text{形状},\text{境界条件})}
\]
強制対流と自然対流
強制対流
ポンプ、送風機、撹拌翼などで流体を動かす対流です。流速を設計条件として与えられるため、Reynolds数を用いて整理します。この記事では円管内の単相強制対流を扱います。
自然対流
温度差による密度差と浮力によって流れが生じる対流です。Reynolds数の代わりにGrashof数やRayleigh数が重要になります。自然対流は別の記事で詳しく扱います。
Reynolds数：層流か乱流かを判定する
円管内流のReynolds数は、
\[
\boxed{Re=\frac{\rho uD}{\mu}=\frac{uD}{\nu}}
\]
です。
- \(u\)：断面平均流速 \(\mathrm{m/s}\)
- \(D\)：管内径 \(\mathrm{m}\)
- \(\mu\)：粘度 \(\mathrm{Pa\,s}\)
- \(\nu=\mu/\rho\)：動粘度 \(\mathrm{m^2/s}\)
Reynolds数は、慣性の効果と粘性の効果の比を表します。円管内流では、おおよそ次のように分類します。
- \(Re\lesssim2300\)：層流
- \(2300\lesssim Re\lesssim4000\)：遷移域
- \(Re\gtrsim4000\)：乱流
ただし、乱流用の相関式には \(Re\ge10000\) など、さらに厳しい適用範囲が指定されることがあります。流れが乱流だからといって、すべての乱流相関式を使えるわけではありません。
Prandtl数：運動量と熱の広がり方を比べる
Prandtl数は、
\[
\boxed{Pr=\frac{\nu}{\alpha}=\frac{c_p\mu}{k}}
\]
です。温度伝導率 \(\alpha\) は、
\[
\alpha=\frac{k}{\rho c_p}
\]
で定義されます。
Prandtl数は、運動量の拡散しやすさと熱の拡散しやすさの比です。
- \(Pr\ll1\)：熱が運動量より速く広がりやすい
- \(Pr\approx1\)：熱と運動量が同程度に広がる
- \(Pr\gg1\)：運動量より熱が広がりにくい
空気は常温付近で \(Pr\approx0.7\)、水は数程度、粘性の高い油では数百以上になることがあります。\(Pr\) が大きい流体では温度境界層が薄くなりやすく、入口の影響が長く残る場合があります。
Nusselt数：対流による伝熱促進の尺度
Nusselt数は、
\[
\boxed{Nu=\frac{hD}{k}}
\]
です。式を変形すると、求めたい熱伝達係数は、
\[
\boxed{h=\frac{Nu\,k}{D}}
\]
となります。
\(Nu\) は、流体が動くことで壁面伝熱がどれだけ促進されたかを表す尺度です。\(Nu=1\) は、代表長さ \(D\) の静止流体層を熱伝導だけで熱が通る程度に対応します。\(Nu\) が大きいほど、対流による熱輸送が強いと解釈できます。
非円形流路では水力直径を使う
ダクトや二重管のような非円形流路では、代表長さとして水力直径を使います。
\[
\boxed{D_h=\frac{4A_c}{P_w}}
\]
- \(A_c\)：流路断面積
- \(P_w\)：流体と接するぬれ縁長さ
円管では \(A_c=\pi D^2/4\)、\(P_w=\pi D\) なので、\(D_h=D\) になります。
ただし、非円形流路の層流Nusselt数は断面形状に依存します。円管の \(Nu=3.66\) や \(4.36\) を、水力直径へ置き換えるだけで常に使えるわけではありません。
速度助走区間と温度助走区間
管入口では速度分布も温度分布もまだ発達途中です。入口から十分離れると、それぞれの分布形状が流れ方向に変化しない発達状態になります。
流体力学的に発達した流れ
層流円管のおおよその速度助走長さは、
\[
\frac{L_h}{D}\approx0.05Re
\]
です。
熱的に発達した流れ
層流円管のおおよその温度助走長さは、
\[
\frac{L_t}{D}\approx0.05RePr
\]
です。
\(Pr\) が大きい流体では、速度分布が発達していても温度分布は発達していない場合があります。相関式を選ぶ前に、管長 \(L\) と助走長さを比較します。
乱流では助走区間が層流より短いことが多く、目安として \(L/D\) が10程度以上かを確認します。ただし、エルボやバルブの直後では流れが再び乱れるため注意が必要です。
発達した層流円管のNusselt数
物性一定、円管、定常、単相、流体力学的・熱的に十分発達した層流を考えます。
壁温一定
\[
\boxed{Nu=3.66}
\]
壁面熱流束一定
\[
\boxed{Nu=4.36}
\]
同じ層流でも境界条件によってNusselt数が異なります。「壁温一定」なのか「壁面熱流束一定」なのかを必ず確認します。
完全発達層流では、これらの \(Nu\) はReynolds数に直接依存しません。流速が変わっても \(h=Nu\,k/D\) が一定になるという一見不思議な結果は、完全発達・物性一定という限定された条件で成立します。
層流の温度助走区間
壁温一定の円管について、入口から長さ \(L\) までの平均Nusselt数を近似する式の一つは、
\[
\overline{Nu}_L
=
3.66+
\frac{0.0668Gz}{1+0.04Gz^{2/3}}
\]
です。ここでGraetz数は、
\[
\boxed{Gz=RePr\frac{D}{L}}
\]
です。\(Gz\) が大きいほど入口効果が強く、\(\overline{Nu}_L\) は完全発達値3.66より大きくなります。
この式も円管、層流、壁温一定などの前提があります。入口形状や物性変化が大きい場合は、適合する別の相関式や数値解析が必要です。
乱流円管のDittus–Boelter式
滑らかな円管内の十分発達した乱流で広く使われる式がDittus–Boelter式です。
\[
\boxed{Nu=0.023Re^{0.8}Pr^n}
\]
指数 \(n\) は一般に、
- 流体を加熱する場合：\(n=0.4\)
- 流体を冷却する場合：\(n=0.3\)
とします。
代表的な使用条件の目安は、\(Re\gtrsim10000\)、\(0.7\lesssim Pr\lesssim160\)、十分に長い滑らかな円管、物性変化が大きくない単相流です。
注意：Dittus–Boelter式は簡便ですが、遷移域、短い管、粗い管、粘度の温度依存が大きい液体、非ニュートン流体、沸騰や凝縮にはそのまま適用できません。
より広い範囲で使われるGnielinski式
滑らかな円管内乱流では、摩擦係数を含むGnielinski式もよく使われます。
\[
\boxed{
Nu=
\frac{(f/8)(Re-1000)Pr}
{1+12.7(f/8)^{1/2}(Pr^{2/3}-1)}
}
\]
滑らかな管のDarcy摩擦係数を、
\[
\boxed{f=(0.79\ln Re-1.64)^{-2}}
\]
で求めます。
代表的な適用範囲は、\(3000\lesssim Re\lesssim5\times10^6\)、\(0.5\lesssim Pr\lesssim2000\) です。遷移域に近い場合は流れが不安定で、入口条件や乱れの影響も大きいため、計算値を絶対視しないようにします。
摩擦係数の \(f\) はDarcy摩擦係数です。Fanning摩擦係数との間には、
\[
f_{\mathrm{Darcy}}=4f_{\mathrm{Fanning}}
\]
の関係があるため、取り違えに注意します。
例題1：乱流水の熱伝達係数
内径25 mmの滑らかな円管を40℃の水が平均流速1.5 m/sで流れています。流体を加熱するときの熱伝達係数を求めます。
40℃付近の物性値を次のように与えます。
- 密度：\(\rho=992\ \mathrm{kg/m^3}\)
- 粘度：\(\mu=6.53\times10^{-4}\ \mathrm{Pa\,s}\)
- 熱伝導率：\(k=0.630\ \mathrm{W/(m\,K)}\)
- 比熱：\(c_p=4179\ \mathrm{J/(kg\,K)}\)
- 管内径：\(D=0.025\ \mathrm{m}\)
Reynolds数
\[
Re=\frac{992\times1.5\times0.025}{6.53\times10^{-4}}
=5.70\times10^4
\]
\(Re\gt10000\) なので、Dittus–Boelter式の乱流域に入っています。
Prandtl数
\[
Pr=\frac{4179\times6.53\times10^{-4}}{0.630}
=4.33
\]
Dittus–Boelter式
流体を加熱するので \(n=0.4\) とします。
\[
Nu=0.023(5.70\times10^4)^{0.8}(4.33)^{0.4}
=263.6
\]
\[
h=\frac{Nu\,k}{D}
=\frac{263.6\times0.630}{0.025}
\]
\[
\boxed{h\approx6.64\times10^3\ \mathrm{W/(m^2\,K)}}
\]
Gnielinski式との比較
\[
f=(0.79\ln(5.70\times10^4)-1.64)^{-2}
=0.02035
\]
\[
Nu=299.1
\]
\[
\boxed{h\approx7.54\times10^3\ \mathrm{W/(m^2\,K)}}
\]
2つの相関式の結果には約13％の差があります。相関式は実験データを整理した近似式であり、選択した式と適用範囲を明記することが重要です。
Gnielinski式の値を使い、ある位置で壁面と混合平均流体の温度差が20 Kなら、局所熱流束は、
\[
q”=h\Delta T
=7.54\times10^3\times20
\]
\[
\boxed{q”\approx1.51\times10^5\ \mathrm{W/m^2}}
\]
です。
例題2：発達した層流水の熱伝達係数
内径10 mm、長さ2.0 mの円管を40℃の水が平均流速0.010 m/sで流れます。壁温一定、十分に発達した層流として熱伝達係数を求めます。物性値は例題1と同じとします。
流動状態
\[
Re=\frac{992\times0.010\times0.010}{6.53\times10^{-4}}
=152
\]
十分に層流です。
助走長さの確認
\[
L_h\approx0.05ReD
=0.05\times152\times0.010
=0.076\ \mathrm{m}
\]
\[
L_t\approx0.05RePrD
=0.05\times152\times4.33\times0.010
=0.329\ \mathrm{m}
\]
管長2.0 mは両方の助走長さより十分大きいため、管の大部分は発達状態とみなせます。
Nusselt数と熱伝達係数
壁温一定なので \(Nu=3.66\) を使います。
\[
h=\frac{3.66\times0.630}{0.010}
\]
\[
\boxed{h=231\ \mathrm{W/(m^2\,K)}}
\]
管全体で温度差を20 K一定と近似すると、伝熱面積は、
\[
A=\pi DL
=\pi\times0.010\times2.0
=0.0628\ \mathrm{m^2}
\]
\[
\dot Q=hA\Delta T
=231\times0.0628\times20
\]
\[
\boxed{\dot Q\approx290\ \mathrm{W}}
\]
実際には流体が加熱されるにつれて \(T_s-T_m\) は下流へ向かって小さくなるため、温度差一定の近似が妥当かを確認する必要があります。
流体温度が管に沿って変化する場合
壁温 \(T_s\) が一定で、熱伝達係数 \(h\) と物性値も一定と仮定します。微小区間のエネルギー収支から、
\[
\dot m c_p dT_m=hP(T_s-T_m)dx
\]
となります。入口 \(T_{m,i}\) から出口 \(T_{m,o}\) まで積分すると、
\[
\boxed{
\frac{T_s-T_{m,o}}{T_s-T_{m,i}}
=
\exp\left(-\frac{hPL}{\dot m c_p}\right)
}
\]
です。円管ならぬれ縁長さは \(P=\pi D\) です。
出口温度が求まれば、伝熱速度は流体側のエネルギー収支から、
\[
\boxed{\dot Q=\dot m c_p(T_{m,o}-T_{m,i})}
\]
で計算できます。局所温度差を単純に管全長へ掛けるより、こちらの方が物理的に整合します。
物性値はどの温度で評価するか
相関式で使う \(\rho,\mu,k,c_p\) は温度によって変わります。管内単相流では、まず入口・出口の混合平均温度から代表温度を定める方法が一般的です。
\[
T_{m,\mathrm{avg}}\approx\frac{T_{m,i}+T_{m,o}}{2}
\]
ただし、入口と出口の温度差が大きい場合、壁温と流体温度の差が大きい場合、臨界点付近の流体では物性変化を無視できません。区間分割して物性値と \(h\) を更新するか、物性補正を含む相関式を選びます。
特に粘度は温度依存が大きいため、油の加熱・冷却では壁面粘度を用いるSieder–Tate型の補正が必要になる場合があります。
対流熱伝達を熱抵抗として扱う
対流熱抵抗は、
\[
\boxed{R_{\mathrm{conv}}=\frac{1}{hA}}
\]
です。高温流体から管壁、断熱材、周囲空気までの伝熱は、内側対流・管壁熱伝導・断熱材熱伝導・外側対流の直列回路として扱えます。
\[
R_{\mathrm{total}}
=
R_{\mathrm{conv},i}
+
R_{\mathrm{cond,pipe}}
+
R_{\mathrm{cond,ins}}
+
R_{\mathrm{conv},o}
\]
\[
\dot Q=\frac{T_{\infty,i}-T_{\infty,o}}{R_{\mathrm{total}}}
\]
この考え方により、今回求めた \(h\) を前回の記事の熱伝導抵抗と接続できます。
相関式を選ぶときのチェックリスト
- 強制対流か自然対流か
- 内部流れか外部流れか
- 単相流か、沸騰・凝縮を伴う二相流か
- 円管か非円形流路か
- Reynolds数は層流・遷移域・乱流のどこか
- 流体力学的・熱的に発達しているか
- 壁温一定か、壁面熱流束一定か
- 相関式のReynolds数・Prandtl数範囲内か
- 滑らかな管か、粗さの影響があるか
- 物性値を評価した温度は適切か
- Darcy摩擦係数とFanning摩擦係数を区別したか
よくある間違い
熱伝達係数を流体固有の定数として使う
同じ流体でも流速、管径、流動状態、形状で \(h\) は変わります。別装置の値をそのまま流用しないようにします。
乱流なら無条件にDittus–Boelter式を使う
\(Re=5000\) は乱流側でも、代表的な適用範囲 \(Re\gtrsim10000\) から外れます。遷移域付近では不確かさが大きくなります。
Nuからhへ戻すときに代表長さを間違える
\(h=Nu\,k/D\) の \(D\) は相関式で定義された代表長さです。円管では内径、非円形流路では水力直径など、式の定義を確認します。
層流の3.66と4.36を区別しない
壁温一定なら3.66、壁面熱流束一定なら4.36です。境界条件を確認します。
局所温度差を管全長へ掛ける
流体温度は下流方向に変わるため、長い管ではエネルギー収支または対数平均温度差を使います。
相関式の物性評価温度を確認しない
温度差が大きい場合、粘度や熱伝導率の変化が計算結果へ直接影響します。
まとめ
- 対流熱流束は \(q”=h(T_s-T_m)\) で表す
- 熱伝達係数 \(h\) は物性値ではなく、流れと物性を含む結果である
- Reynolds数は層流・乱流の判定に使う
- Prandtl数は運動量拡散と熱拡散の比を表す
- Nusselt数は \(Nu=hD/k\) で、\(h=Nu\,k/D\) から熱伝達係数を求める
- 発達層流円管では、壁温一定で \(Nu=3.66\)、熱流束一定で \(Nu=4.36\)
- 乱流円管では、適用範囲を確認してDittus–Boelter式やGnielinski式を使う
- 助走区間、境界条件、物性評価温度、摩擦係数の定義を必ず確認する
- 対流熱抵抗は \(R_{\mathrm{conv}}=1/(hA)\) で熱伝導抵抗と接続できる
次は、外部流れの代表例として平板上の強制対流と境界層を、局所・平均Nusselt数の違いとともに解説します。
参考資料
- U.S. Department of Energy, DOE-HDBK-1012/2-92: Thermodynamics, Heat Transfer, and Fluid Flow
- NASA, Forced-Convection Heat Transfer and Dittus–Boelter Correlation
- NASA, Internal Laminar and Turbulent Heat-Transfer Correlations
- NISTIR 6234, Turbulent Tube Heat Transfer and Petukhov–Gnielinski Correlation
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